大数定律与中心极限定理

五、大数定律与中心极限定理考试内容切比雪夫不等式切比雪夫大数定理伯努利大数定理辛钦大数定理棣莫弗—拉普拉斯定理列维—林德伯格定理（一）切比雪夫不等式设X为随机变量,且有有限方差,则对任意,0有22{},{}1,DXPXEXDXPXEX或意义：粗略估计方差存在的随机变量在以数学期望为中心的对称区间上的概率；证明一些与概率有关的不等式.（二）大数定理1.切比雪夫大数定理若X1,X2,‥,Xn相互独立,每个Xk的方差存在,且一致有界，即存在常数c,使得).,2,1(kcDXk令,11nkkXnX则对任意正数有,11lim{}lim{}1.nknnkPXPXn或意义：当n很大时,相互独立方差一致有界的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望.11lim{}lim{}0.nknnkPXPXn2.伯努利大数定理设事件A在每次试验中发生的概率为p,n次重复独立试验中事件A发生的次数为nA,则对任意正数有,lim{}1.lim{}0.AnAnnPpnnPpn或3.辛钦大数定理若X1,X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望(1,2,).kEXk对任意正数,有111lim{}1.1lim{}0.nknknknkPXnPXn意义：当n很大时,独立同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望.11()nkkXn（三）中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）若X1,X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差：则随机变量2,(1,2,).kkEXDXk1nkkXnYn的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布.即对任意x满足212lim()lim{}1().2nkknnntxXnFxPxnedtx意义：均值为方差为的独立同分布的随机变量的和的标准化变量,当n充分大时,有,021nkkX1~(0,1)nkknXnYNn（近似服从）2.棣莫弗—拉普拉斯定理设随机变量则对任意x,有),10)(,(~),2,1(ppnBnn221lim{}().(1)2txnnnpPxedtxnpp显然1,nnkkX其中X1,X2,‥,Xn独立同服从(,)Bnp意义:当n充分大时,二项分布可用正态分布来近似.考点与例题分析考点一：有关切比雪夫不等式考点二：大数定理考点三：中心极限定理考点一：有关切比雪夫不等式22{},{}1.DXPXEXDXPXEX1.粗略估计X在内的概率；),(EXEX2.证明不等式.例1设随机变量X的数学期望EX=11,方差DX=9,则根据切比雪夫不等式估计.___}202{XP解由有2{}1DXPXEX2{220}{112119}98{119}1.99PXPXPX考点二：大数定理大数定理描述了独立同分布的随机变量的11()nkkXn在一定的条件下依概率收敛于它的数学期望11().nkkEXn平均值例2设X1,X2,‥,Xn相互独立,它们满足大数定理,则Xi的分布可以是.,2,1,}{)(3mmcmXPAi21().(1)fxx(D)Xi的密度函数(C)Xi服从参数为的泊松分布.i(B)Xi服从参数为的指数分布.i/1分析：只须判断序列是否满足大数定理:独立同分布且数学期望存在；（辛钦）或独立但分布不同，而数学期望方差存在且方差一致有界.（切比雪夫）(A)解选A.因为(A)中Xi独立同分布,且1213mmimcmcmEX（收敛）21mcm存在，(D)中Xi独立同分布,但EXi不存在，因21()(1)iEXxdxx发散.(B),(C)中Xi不同分布,且(B)中DXi=i2,(C)中DXi=1/i均是i的无界函数.例3设X1,X2,‥,Xn相互独立,同服从参数为2的指数分布,则当时,依概率收敛于___.nniinXnY121分析：由辛钦大数定理知,独立同分布且期望存在的随机变量序列的平均值依概率收敛于它的期望.因此只须求Yn的期望.解因X1,X2,‥,Xn独立同分布,故X12,X22,‥,Xn2独立同分布..4121,212iiDXEX221,2iiiEXDXEX2211111.2nnniiiiEYEXXnn2111{}{}()().nknkkkXnanbnPaXbPnnnbnannn考点三：中心极限定理求解步骤：1.正确选择独立同分布随机变量X1,X2,‥,Xn；2.将标准化：1nkkX1~(0,1)nkknXnYNn3.近似计算：例4检查员逐个地检查某产品,每次花10秒钟检查一个,但也可能有的产品需要再花10秒种重新检查一次,假设每个产品需要复检的概率为0.5,求在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率是多少？分析在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率等于检查员检查1900个产品的时间小于8小时的概率,检查每个产品花费的时间可认为是相互独立的,由列维—林德伯格定理计算.解设Xi表示“检查第i个产品花费的时间”(秒),即,20,10iX不需复检,需复检,.1900,2,1i则X1,X2,‥,Xn相互独立同分布,为检查1900个产品所花费的时间,且19001iiXX,155.0205.010iEX.25])[(2iiiEXXEDX于是19001{83600}{28800}iiPXPX1900119001528800190015{}5190051900iiXP19001285006{}(1.376)0.91559501919iiXP故8小时内检查的个数多于1900个的概率是0.91559.例5银行为支付某日即将到期的债券准备一笔现金,已知这批债券共发放了500张,每张需付本息1000元,设持券人(1人1券)到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换？解设X为该日到银行领取本息的总人数,则),4.0,500(~BX所需支付现金为1000X,设银行该日应准备现金x元,依题意有{1000}0.999.PXx由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知{1000}{}1000xPXxPX5000.45000.41000{}5000.40.65000.40.6200200000200000{}()0.999.120200030200030xXPXxxP即2000003.1,200030x得.799.233958x因此银行于该日应准备现金234000元才能以99.9%的把握满足客户的兑换.