对数与对数函数经典例题.

1对数函数1．对数函数的定义：函数叫做对数函数，其中x是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图像和的图像关于直线对称。（2）复习)10(aaayx且的图象和性质奎屯王新敞新疆a10a1图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数2．对数函数的图像：4321-1-2-3-6-4-2246011A4321-1-2-3-22460113．对数函数的性质：a10a1aylogx(a0a1)且aylogxxyaaylogxxyayx2图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0)1,0(x时0y),1(x时0y)1,0(x时0y),1(x时0y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数1．对数：(1)定义：如果Nab)1,0(aa且，那么称为，记作，其中a称为对数的底，N称为真数.①以10为底的对数称为常用对数，N10log记作___________．②以无理数)71828.2(ee为底的对数称为自然对数，Nelog记作_________．(2)基本性质：①真数N为(负数和零无对数)；②01loga；③1logaa；④对数恒等式：NaNalog．(3)运算性质：①loga(MN)＝___________________________；②logaNM＝____________________________；③logaMn＝(n∈R).3④换底公式：logaN＝(a0，a≠1，m0，m≠1，N0)⑤loglog.mnaanbbm.2．对数函数：①定义：函数称为对数函数，1)函数的定义域为；2)函数的值域为；3)当______时，函数为减函数，当_________时为增函数；4)函数xyalog与函数______)1,0(aaayx且互为反函数.②1)图象经过点()，图象在；2)对数函数以为渐近线(当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴)；4)函数y＝logax与的图象关于x轴对称．③函数值的变化特征：10a1a①时1x②时1x③时10x①时1x②时1x③时10x经典例题透析类型1：（求对数函数定义域与值域）1.N02.a0且不=1例1、求下列函数的定义域：（1）2aylogx（2）aylog(4x)（3）2(3x)ylogx变式练习1.42.求下列函数的定义域：（1）（2）（3）（4）类型二、指数式与对数式互化及其应用例1．：(1)(2)：举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(3)lg100=x(4)类型二、利用对数恒等式化简求值（恒等式）例2．求值：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N0)5ylog(1x)21ylogx71ylog13x3ylogx5类型三、积、商、幂的对数①loga(MN)＝___________________________；②logaNM＝____________________________；③logaMn＝(n∈R).例3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.6【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a0，b0.求证：.类型四、换底公式的运用例4．(1)已知logxy=a，用a表示；(2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.7举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).类型五、对数运算法则的应用例5．求值(1)log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)8举一反三：【变式1】求值：【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?类型6、函数图象问题例7．作出下列函数的图象：(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2)y=lg|x|；(3)y=-1+lgx.9类型7、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例8.比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a0且a≠1)举一反三：【变式1】（2011天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得10又∵为单调递增函数，∴故选C.9.证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1x2则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(logax)=(a0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a1时，t=logax为增函数，若t1t2，则0x1x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0x1x2，a1，∴f(t1)f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0a1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a1或0a1，f(x)在R上总是增函数.1110．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1x3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型7、函数的奇偶性11.判断下列函数的奇偶性.(1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的12运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型8、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.13解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是R；当a≠0时，有a1.∴a的取值范围为a1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1..