指数运算和指数函数

指数运算和指数函数一、知识点1.根式的性质（1）当n为奇数时，有aann（2）当n为偶数时，有)0(,)0(,aaaaaann（3）负数没有偶次方根（4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............Nnaaaaann(2)零指数幂)0(10aa(3)负整数指数幂).0(1Npaaapp(4)正分数指数幂)1,,,0(nNnmaaanmnm且(5)负分数指数幂nmnmaa1)1,,,0(nNnma且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Qsraaaasrsr(2)),,0(,)(Qsraaarssr(3)),0,0(,)(Qrbaaaabsrr4．指数函数定义：函数)10(aaayx且叫做指数函数。5.指数函数的图象和性质xay0a1a1图象性质定义域R值域(0,+∞)定点过定点（0，1），即x=0时，y=1（1）a1，当x0时，y1；当x0时，0y1。（2）0a1，当x0时，0y1；当x0时，y1。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性xya和xya关于y轴对称二、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①xya②xyb③xyc④xyd则：0＜b＜a＜1＜d＜c又即：x∈(0,+∞)时，xxxxbadc（底大幂大）x∈(－∞,0)时，xxxxbadc（2）特殊函数112,3,(),()23xxxxyyyy的图像：三、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0ABAB；0ABAB；0ABAB；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1AB，或1AB即可．四、典型例题类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xyaaa是指数函数，求a的值．【答案】2【解析】由2(33)xyaaa是指数函数，可得2331,0,1,aaaa且解得12,01,aaaa或且，所以2a．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy；（2）4yx；（3）4xy；（4）(4)xy；（5）1(21)(1)2xyaaa且；（6）4xy．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4xy=14x，符合指数函数的定义，而（2）中底数x不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中底数40，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy；(2)y=4x-2x+1；(3)21139x；(4)211xxya(a为大于1的常数)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R[,43)；（3）1,20,；（4）[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切xR，3x≠-1).∵(13)1111313xxxy，又∵3x0，1+3x1，∴10113x，∴11013x，∴101113x，∴值域为(0，1).(2)定义域为R，43)212(12)2(22xxxy，∵2x0，∴212x即x=-1时，y取最小值43，同时y可以取一切大于43的实数，∴值域为[,43).(3)要使函数有意义可得到不等式211309x，即21233x，又函数3xy是增函数，所以212x，即12x，即1,2，值域是0,.(4)∵011112xxxx∴定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵111011xxxx且，∴aayayxxxx1121121且，∴值域为[1，a)∪(a，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y0的条件，第(4)小题中112111xxx不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12xy(2)3-3xy(3)2-1xy(4)1-(0,1)xyaaa【答案】（1）R；（2）-3，；（3）0,+；（4）a1时，-0，；0a1时，0+，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即3x，即-3，．(3)为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即0,+(4)为使得原函数有意义，需满足10xa，即1xa，所以a1时，-0，；0a1时，0+，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3xxfx的单调性，并求其值域．【思路点拨】对于x∈R，22103xx恒成立，因此可以通过作商讨论函数()fx的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数()fx在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，3]【解析】解法一：∵函数()fx的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，∴222221()3xxfx，211211()3xxfx，222222121212121122()()(2)2211()113()3313xxxxxxxxxxxxfxfx．（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知2121()(2)113xxxx．又对于x∈R，()0fx恒成立，∴21()()fxfx．∴函数()fx在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知2121()(2)1013xxxx．∴21()()fxfx．∴函数()fx在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()fx在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，1013，221110333xx．∴函数()fx的值域为（0，3]．解法二：∵函数()fx的下义域为R，令u=x2－2x，则1()3ufu．∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3ufu在其定义域内是减函数，∴函数()fx在（－∞，1]内为增函数．又1()3ufu在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()fx在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()fxya型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，()fxya的单调性与()yfx的单调性相同；当0＜a＜1时，()fxya的单调与()yfx的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323xxy的单调区间及值域.【答案】3(,]2x上单增，在3[,)2x上单减.14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x2+3x-2，y=3u；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间；[3]求值域.设u=-x2+3x-2，y=3u，其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在3(,]2x上单增，u=-x2+3x-2在3[,)2x上单减，则2323xxy在3(,]2x上单增，在3[,)2x上单减.又u=-x2+3x-22311()244x，2323xxy的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)xxfxaaa其中，且的单调区间.【解析】当a1时，外层函数y=au在()，上为增函数，内函数u=x2-2x在区间(1)，上为减函数，在区间1+，上为增函数，故函数2-2()(-1)xxfxa在区间，上为减函数，在区间1+，上为增函数；当0a1时，外层函数y=au在()，上为减函数，内函数u=x2-2x在区间(1)，上为减函数，在区间1+，上为增函数，故函数2-2()xxfxa在区间(1)，上为增函数，在区间1,+上为减函数.例4．证明函数1()(1)1xxafxaa在定义域上为增函数.【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。【解析】定义域为xR，任取x1x2，12121212121211(1)(1)(1)(1)()()11(1)(1)xxxxxxxxxxaaaaaafxfxaaaa12122()(1)(1)xxxxaaaa.∵1210,10xxaa，∴12(1)(1)0xxaa，又a1，x1x2，∴12xxaa，∴120xxaa，∴f(x1)f(x2)，则1()(1)1xxafxaa在定义域上为增函数.另：12121(1)xxxxxaaaa，∵10xa，a1且x2-x10，∴211xxa，∴2110xxa.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1；(2)24-231(),3,()33(3)22.5，(2.5)0，2.51()2(4)23(0,1)aaaa与【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。【答案】（1）1.8a1.8a+1（2）2-24311()()333（3）2.502.51()(2.5)22（4）当a1时，23aa，当0a1时，23aa【解析】(1)因为底数1.81，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为aa+1，所以1.8a1.8a+1.(2)因为44133，又13xy是减函数，所以-42-23111()()333，即2-24311()()333．(3)因为2.521，2.5112，所以2.502.51()(2.5)22(4)当a1时，23aa，当0a1时，23aa．【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).举一反三：【变式1】比较大小：(1)22.1与22.3(2)3.53与3.23(3)0.9-0.3与1.1-0.1(4)0.90.3与0.70.4(5)110.233241.5,(),()33.【解析】(1)22.1＜22.3(2)3.53＞3.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x3，它为增函数.(3)由0.9-0.3，00.91，-0.300.9-0.31，1.11，-0.1001.1-0.11，则0.9-0.31.1-0.1；(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.90.30.70.4.(5)∵0.20.221