数列通项公式、前n项和求法总结(全)

第1页一.数列通项公式求法总结：1.定义法——直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.变式练习：1.等差数列na中,71994,2,aaa求na的通项公式2.在等比数列{}na中,212aa,且22a为13a和3a的等差中项,求数列{}na的首项、公比及前n项和.2.公式法求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解。特征：已知数列的前n项和nS与na的关系例2.已知下列两数列}{na的前n项和sn的公式，求}{na的通项公式。（1）13nnSn。（2）12nsn第2页变式练习：1.已知数列{}na的前n项和为nS，且nS=2n2+n，n∈N﹡，数列{b}n满足na=4log2nb+3，n∈N﹡.求na，nb。2.已知数列{}na的前n项和212nSnkn（*kN）,且Sn的最大值为8，试确定常数k并求na。3.已知数列na的前n项和NnnnSn，22.求数列na的通项公式。3.由递推式求数列通项法类型1特征：递推公式为)(1nfaann对策：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法求解。例3.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。第3页变式练习：1.已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。2.已知数列：求通项公式类型2特征：递推公式为nnanfa)(1对策：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法求解。例4.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。变式练习：1.已知数列na中，12a，13nnnaa，求通项公式na。1112nnnaaa,第4页2.设na是首项为1的正项数列，且221110nnnnnanaaa（n=1，2，3，…），求数列的通项公式是na类型3特征：递推公式为qpaann1（其中p，q均为常数）对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由qpaann1得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa构成数列1nnaa以21aa为首项，以p为公比的等比数列.求出1nnaa的通项再转化为类型1（累加法）便可求出.na例5.已知数列na中，11a，321nnaa，求na.变式练习：1.数列{an}满足a1=1，0731nnaa,求数列{an}的通项公式。第5页2.已知数列na满足1a=1，131nnaa.证明12na是等比数列，并求na的通项公式。类型4特征：递推公式为1()nnapafn（其中p为常数）对策：（利用构造法消去p）两边同时除以1np可得到111()nnnnnaafnppp，令nnnabp，则11()nnnfnbbp，再转化为类型1（累加法），求出nb之后得nnnapb例6．已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。变式练习：已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na．第6页二.数列的前n项和的求法总结1.公式法（1）等差数列前n项和：11()(1)22nnnaannSnad（2）等比数列前n项和：q=1时，1nSna1111nnaqqSq，例1.已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.变式练习：1.设等比数列na的前n项和为nS.已知26,a13630,aa求na和nS.2.设{}na是等差数列，{}nb是各项均为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab。（1）求na，nb；（2）求数列{}nnba的前n项和nS。第7页2.错位相减法①若数列na为等差数列，数列nb为等比数列，则数列nnab的求和就要采用此法.②将数列nnab的每一项分别乘以nb的公比，然后在错位相减，进而可得到数列nnab的前n项和.例2.求2311234nxxxnx……的和变式练习：1.已知数列na的前n项和为nS,且nS=22nn,n∈N﹡,数列nb满足24log3nbnan∈N﹡.(1)求na,nb;(2)求数列nnab的前n项和nT.2.若公比为c的等比数列na的首项为11a，且满足12(3,4,...)2nnnaaan。（1）求c的值；（2）求数列{}nna的前n项和nS第8页3.倒序相加法如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121...nnaaaa把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121…………相加21211Saaaaaannnn…………例3.已知，则fxxxfffffff()()()()()2211212313414变式练习：1.求222222222222123101102938101的和．2.求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值。第9页4.裂项相消法一般地，当数列的通项12()()ncaanbanb12(,,,abbc为常数）时，往往可将na变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12naanbanb，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cbb，从而可得12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb常用裂项形式有：①111(1)1nnnn；②1111()()nnkknnk；③2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn；⑤2122(1)2(1)11nnnnnnnnn例4.求数列311，421，531，…，)2(1nn，…的前n项和S.变式练习：1.在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.第10页2.等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaaa(I)求数列na的通项公式.(II)设31323logloglog,nnbaaa求数列1nb的前项和.5.分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.例5.求数列11111246248162nn，，，，，的前n项和nS．变式练习：1.求数列11111,2,3,4,392781的前n项和第11页2.若数列na的通项公式231(0)nnaanaa，求na的前n项和6.记住常见数列的前n项和：①(1)123...;2nnn②2135...(21);nn③22221123...(1)(21).6nnnn例6.求22222222235721()11212312nnnN的和．变式练习：求数列{(1)(21)}nnn的前n项和.