数学建模之高温作业专用服装设计

高温作业专用服装设计摘要如何根据环境条件设计相应的服装是专用服装设计面临的主要问题。本文通过建立一维复合介质热传导方程，对高温作业专用服中各分层间的传热过程进行模拟，确定不同环境条件下作业服中的温度分布。进而从降低研发成本、缩短研发周期的角度，求解约束条件下介质层的最优厚度，为实验测试提供参考。关于问题一从一般性热传导方程出发，将作业服各分层视为相互接触的平行无限大平板后，建立一维复合介质热传导方程。使用CrankNicholson方法进行求解并拟合附件2给出的实验数据，得到方程中涉及的实验室环境与I层、IV层与假人皮肤之间的对流换热系数hI，hIV分别为117.41W/(m2
C)、8.36W/(m2
C)。进而将hI、hIV与附件1中提供的各分层参数代回原方程，在问题一提供的条件下进行求解，得到作业服各分层随时间与空间变化的温度分布。关于问题二考虑到经济性，II层最优厚度意为满足约束条件的最小厚度，此时所需原材料最少。该问题为单变量非线性规划问题，利用问题一中建立的模型，在附件1给定的II层厚度范围内进行步长为2mm的定步长搜索，在不同厚度取值下求解模型得到假人皮肤外侧温度随时间的变化。利用约束条件缩小搜索的范围，反复减小步长进行搜索，最终得到满足约束条件的II层最小厚度即最优厚度为17.6mm，此时皮肤外侧温度超过44C的时长为281s。关于问题三II层与IV层的最优厚度应使得研发成本和研发周期最小化。考虑到IV层为空隙层，求解过程中我们首先使II层厚度最小化，在这一前提下搜索满足约束条件且使得研发周期最小化的IV层厚度。与问题二类似，我们首先使用区域搜索算法初步确定满足约束条件的II层、IV层厚度取值范围。通过循环遍历找到所有满足条件的两者厚度组合，根据优化目标求得最终结果，得到II层最小厚度与对应的IV层最优厚度分别为19.3mm、6.4mm，此时皮肤外侧温度超过44C的时长为290s。最后，我们进行了灵敏性分析，发现一维复合介质热传导方程对厚度较为敏感，能够区分不同分层在实际隔热过程中发挥的不同作用；对环境的对流换热系数hI不敏感，保证了hI的拟合求解误差不会对模型的求解结果产生明显影响。关键词一维复合介质热传导方程CrankNicholson方法非线性规划11问题重述1.1问题背景高温作业服是重要的防护装备，可用于避免高温环境下工作人员的灼伤。在设计过程中，需要对作业服进行实验测试，以检验其实际防护效果。在测试前对作业服在实验室条件下的工作效果进行模拟可以降低研发成本，缩短测试周期，显得尤为重要。1.2题目重述高温作业服通常由三层织物材料构成，分别记为I、II、III层。其中，I层与外界环境接触，III层与人体皮肤之间存在空隙层，记作IV层。测试过程中，实验室环境与用于实验的假人均保持恒温，且假人温度为37C，作业服包裹在假人外侧。根据上述条件，要研究以下三个问题：(1)给定各分层密度、比热、热传导率、厚度等参数值或范围，环境温度为75C，II层厚度为6mm，IV层厚度为5mm以及在该条件下测量得到的假人皮肤外侧温度在90分钟内的变化情况，要求建立数学模型并计算各层温度分布，生成相应的Excel文件。(2)给定环境温度为65C，IV层的厚度为5.5mm，要求确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47C，且超过44C的时间不超过5分钟。(3)给定环境温度为80C,要求确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47C，且超过44不超过5分钟。2模型假设1.不考虑热辐射的影响。2.将各层视为平行无限大带厚度的平板，即仅考虑在厚度方向上的温度变化。3.忽略I层、II层、III层、IV层之间的接触热阻，即各层接触面两侧的温度连续。4.假设测试刚开始时各分层温度与假人温度相同。5.假设各分层内部不含热源。3符号说明表1列出了本文需要的符号，文中出现的其它符号将在出现时进行解释。2表1:符号说明符号符号描述单位Ti第i分层温度Ci第i分层密度kg/m3t时间sci第i分层比热J/(kg
C)ki第i分层热传导率W/(m
C)i第i分层热扩散率m2/sxi第i分层与第i+1分层交界处坐标mmx位置坐标mmdi各分层厚度mmhI实验室环境与I分层表面对流换热系数W/(m2
C)hIVIV分层表面与假人皮肤对流换热系数W/(m2
C)Ts实验室环境温度CTw假人皮肤外侧平衡温度CTr假人皮肤温度CT0第i分层初始温度C4问题分析4.1问题一的分析问题一本质上就是描述测试过程中实验环境与各层之间以及假人皮肤的传热过程，考虑建立热传导方程。实验室环境与I层之间以及IV层与皮肤之间存在对流换热，而题目提供的附件中缺少相应的对流换热系数h1、h2，因而考虑利用皮肤外侧的温度数据（附件2）计算得到它们，最终确定热传导方程组。具体步骤如下：1.列出各层满足的热传导方程，确定边界条件，此时方程中含有未知的对流换热系数hI、hIV。2.求解热平衡状态下的热传导方程，由于平衡时皮肤外侧温度已知，由此列出hI与hIV满足的关系式。3.对hI进行赋值,可以得到皮肤外侧温度的模拟结果，改变hI并将模拟结果与题目提供的数据（附件2）进行比较。确定拟合结果最佳情况下的hI，进而确定hIV。4.将hI、hIV代入热传导方程，求解得到的温度分布。4.2问题二的分析考虑到作业服的舒适性与经济性，在保证假人皮肤外侧温度不超过47C，且超过44C的时间不超过5分钟的前提下应使得作业服更加轻便，节约材料，即II层最优厚度应理解为最小厚度。由于题目给定了II层厚度的范围，且问题二本质上为单变量非线性约束的优化问题，因而可以利用问题一建立的模型得到不同II层厚度下假人皮肤外侧温度的变化情况，在给定II层厚度范围内枚举搜索满足约束条件的最小值。34.3问题三的分析问题三有两个变量，分别为II层厚度与IV层厚度，相比于问题二增加了一个变量。在现实生活中，IV层并不影响研发成本，所以研发成本优化主要在于减小II层的厚度。此外，根据题目要求，需要缩短作业服的研发周期，那么我们可以寻求II层、IV层厚度使得作业服能在更短的时间内达到稳态。在本题中，相比于缩短研发周期，我们给与成本的权重更高，即在满足II层的厚度尽可能小的情况下，再考虑更短的达到稳态的时间。先粗精度，大范围枚举搜索估算出两个厚度对符合条件的大致范围，再使用小步长找出所有的符合条件，即可得到其中的最优解。5模型建立假人皮肤外侧的温度变化源于实验室环境与工作服各分层及假人皮肤之间的热交换，该过程可以用非稳态热传导方程进行描述。下面我们建立坐标系，依次确定各分层的热传导方程及相应的边界条件，最终给出模型。5.1热传导方程的确定在三维等方向均匀介质中的热传导方程满足下式[2]：@T@t=(@2T@x2+@2T@y2+@2T@z2)+1cq(1)其中、c、分别为介质热扩散率、比热与密度。@T@t描述温度随时间的变化，@2T@x2、@2T@y2、@2T@z2描述温度随空间的变化，1cq描述内部热源的影响。在作业服测试实验条件下，各分层内不含热源。由此式1化简为：@T@t=(@2T@x2+@2T@y2+@2T@z2)(2)为了进一步简化模型，我们将各分层视为平行无限大平板，并建立坐标系如图1，此时只需要考虑在厚度方向（即x方向）上的温度变化。式2进一步化简为:@T@t=@2T@x24图1:模型示意图对于不同分层，热扩散率i不同，相应地对于i分层热传导方程为：@Ti@t=i@2Ti@x2(3)5.2边界条件与初始条件的确定热量传递主要有三种方式：热传导、对流与热辐射。为了简便计算，我们忽略热辐射的影响。此时，问题变为典型的一维复合介质传热，满足如下边界条件[4]：Tijx=xi=Ti+1jx=xi,(i=1;2;3)ki@Ti@xjx=xi=ki@Ti+1@xx=xi+1,(i=1;2;3)k1@T1@xjx=x0+hIT1jx=x0=hITsk4@T4@xjx=x4+hIVT4jx=x4=hIVTrxi=i∑j=1di;(i=1;2;3;4)(4)从上到下，各等式描述分别为分层在交接面两侧温度连续，热流量相等，I层与实验室环境之间、IV层与假人皮肤之间均以对流方式换热。假设测试开始时，各分层温度相同，则可以给出初始条件：Ti(x;0)=T0;(i=1;2;3;4)(5)55.3模型的确定至此，综合式3、4、5可以得到描述各分层温度分布及其随时间变化满足的一维复合介质热传导方程：@Ti@t=i@2Ti@x2Tijx=xi=Ti+1jx=xi,(i=1;2;3)ki@Ti@xjx=xi=ki@Ti+1@xx=xi+1,(i=1;2;3)k1@T1@xjx=x0+hIT1jx=x0=hITsk4@T@xjx=x4+hIVTjx=x4=hIVTrTi(x;0)=T0;(i=1;2;3;4)xi=∑ij=1di;(i=1;2;3;4)(6)6问题求解6.1模型参数数值确定利用附件1可直接得到各分层的热传导率k，结合热扩散率的定义=kc，可进一步确定各分层热扩散率。至此，模型中只有hI、hIV仍为未知量。下面利用平衡状态获得hI，hIV满足的关系式，最终通过对hI进行赋值，获得假人皮肤外侧的模拟结果对附件2中的数据进行拟合，拟合程度最佳时即为实验测试条件下的hI。平衡条件下温度不再随时间变化，即：@T@t=0。显然，此时各层温度分布Ti的通解满足：Ti=aix+bi;(i=1;2;3;4)(7)其中，ai,bi为未知数。将式7代入方程组6并化简可得：(k1+hIx0)a1+hIb1=hITs(k4+hIVx4)a4+hIVb4=hIVTrxi+1aixi+1ai+1+bibi+1=0;(i=1;2;3)kiaiki+1ai+1=0;(i=1;2;3)(8)再由平衡条件下皮肤外侧温度模拟结果与测量结果相等这一条件，得到：T4jx=x4=Tw(9)其中，Tw为附件2给出的皮肤外侧平衡温度。式8，式9组成了含有10个未知数，9个方程的方程组，最终可以使用MATLAB中的solve函数将hIV用hI以及其它已知参数表示。由于表达式过于冗长，此处不作展示。至此，模型中的参数由hI、hIV减少为hI。下面对hI进行赋值，使用Crank-Nicholson方6法[6]对模型进行数值求解，得到皮肤外侧温度变化后对附件2中的数据进行拟合，确定最佳的hI。在Crank-Nicholson方法中，定义格点Ti;n，使其满足x=xmin+ih，t=nk。我们有如下差分方式:T=Ti;n+Ti;n+12@T@t=Ti;n+1Ti;nk@T@x=Ti+1;nTi1;n+Ti+1;n+1Ti1;n+14h@2T@x2=Ti+1;n2Ti;n+Ti1;n+Ti+1;n+12Ti;n+1+Ti1;n+12h2(10)将上式代入3令r=k2h2，化简可得：rTi+1;n+1+(1+2r)Ti;n+1rTi1;n+1=rTi+1;n+1+(12r)Ti;n+1+rTi1;n+1(11)在方程11中，令Ai=r，Bi=1+2r，Ci=r，Di=rTi+1;n+1+(12r)Ti;n+1+rTi1;n+1。要注意的是，由于热扩散率在不同材料层中不同，因此，这个方程是分段的，每层的传热系数不同。假设Ni=round(dih)（di为第i层厚度，i=1;2;3;4），则：当n=1;2;


;N1时，=1；当n=N1+1;N1+2;


;N1+N2时，=2；当n=N1+N2+1;N1+N2+2;


;N1+N2+N3时,=3；当n=N1+N2