根的判别式与韦达定理

德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程)0(02acbxax，当判别式042acb时，其求根公式为：aacbbx24221、；当0时，设一元二次方程的两根为21xx、，有：abxx21，acxx21；根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当abxx21，acxx21时，那么21xx、则是方程)0(02acbxax的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，除了要求熟记一元二次方程)0(02acbxax根的判别式acb42存在的三种情况外，还常常要求应用韦达定理解答一些变式题目，以及应用求根公式求出方程)0(02acbxax的两个根21xx、，进而分解因式，即))((212xxxxacbxax。下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析，希望能带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于x的方程(1)03)21(22axax有两个不相等的实数根，且关于x的方程(2)01222axx没有实数根，问a取什么整数时，方程(1)有整数解？分析：在同时满足方程(1)，(2)条件的a的取值范围中筛选符合条件的a的整数值。解：说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定a的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出a，这是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例2：不解方程，判别方程07322xx两根的符号。判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，倘若由题中021xx，所以可判定方程的根为一正一负；倘若021xx，仍需考虑21xx的正负，倘若021xx，则方程有两个正数根；倘若021xx，则方程有两个负数根。解：德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：说明：对于)0(02acbxax来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式，但只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定21xx或21xx的正负情况。因此解答此类题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定21xx或21xx的正负情况。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例3：已知方程052622mmxx的一个根为2，求另一个根及m的值。分析：此类题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值。解法一：解法二：例4：已知方程04)2(222mxmx有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求m的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，即可求得m的值。解：说明：当利用根与系数的关系求出m后，还需注意使用韦达定理的必要条件0，应舍去不合题意的m。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知21xx、是关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx的两个非零实数根，问1x和2x能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。解：德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，是重点练习的内容。五、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例6：已知、是方程0522xx的两个实数根，求22的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。解法一：解法二：说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力。六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例7：已知两方程052mmxx和0713)17(2mxmx至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：可设两方程的相同根为，根据根的意义，可以构成关于和m的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：说明：本题的易错点为求解出关于、m的二元方程组后，忽略m对方程和判别式的讨论。与韦达定理综合训练一、填空题：1、如果关于x的方程062kxx的两根之差为2，那么k=。2、已知关于x的一元二次方程01)1()1(22xaxa两根互为倒数，则a=。3、已知关于x的方程0)1(232mmxx的两根为21xx、，且431121xx，则m=。4、已知21xx、是方程04722xx的两个根，那么：2221xx；)1)(1(21xx；21xx。5、已知关于x的一元二次方程0642xmx的两根为21xx、，且221xx，则m=；21)(21xxxx。6、如果关于x的一元二次方程022axx的一个根是21，那么另一个根是，a的值为。7、已知32是042kxx的一根，则另一根为，k的值为。8、一个一元二次方程的两个根是62和62，那么这个一元二次方程为：。二、求值题：1、已知21xx、是方程01322xx的两个根，利用根与系数的关系，求321231xxxx的值。2、已知21xx、是方程01232xx的两个根，利用根与系数的关系，求22221)(xx的值。3、已知21xx、是方程04322xx的两个根，利用根与系数的关系，求52212251xxxx的值。4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：、已知关于x的方程01)1(22mxmx的两根满足关系式121xx，求m的值及方程的两个根。6、已知方程042mxx和016)2(2xmx有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数k为何值时，方程0)1(22kkxkx有正的实数根？2、已知关于x的一元二次方程0321)2(2mxmx(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。(2)若这个方程的两个实数根21xx、满足1221mxx，求m的值。德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：、若0n，关于x的方程041)2(2mnxnmx有两个相等的正的实数根，求nm的值。4、是否存在实数k，使关于x的方程06)74(922kxkx的两个实根21xx、，满足2321xx，如果存在，试求出满足条件的k的值，如果不存在，请说明理由。5、已知关于x的一元二次方程)0(01)3(222mxmxm的两实数根为21xx、，若2111xxm，求m的值。6、实数m、n分别满足方程0199192mm和099192nn，求代数式nmmn14的值。德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：答案与提示：一、填空题：1、提示：，，，∴，∴，解得：2、提示：，由韦达定理得：，，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。3、提示：由于韦达定理得：，，∵，∴，∴，解得：。4、提示：由韦达定理得：，，；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则；②设＜0，＞0，则。5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，∴，∴8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：，2、∴3、提示：由韦达定理得：，，∴德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：、提示：由韦达定理得：，，∴5、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。6、提示：由韦达定理得，，∵，∴，∴，∴，化简得：；解得：，；以下分两种情况：①当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：；②当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：7、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：；①②得：，解这个方程得：；以下分两种情况：（1）当时，代入①得（2）当时，代入①得。所以和相同的根为，的值分别为，。三、能力提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：解这个不等式组得：＞12、提示：（1）的判别式△＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；德阳市新阳光综合培训学校总校：泰山北路二段290号(市自来水公司至五医院之间)电话：(0838)230166118980111129215984930405网址：、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组：求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝44、答案：存在。提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：解这个方程组得：①当时，；②当时，；所以的值有两个：；；5、提示：由韦达定理得：，，则，即，解得：6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：，，∴，∴，∴，又∵，变形得：，∴，∴