相似三角形六大证明技巧

1313相似三角形的判定方法总结：1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.三边成比例的两个三角形相似.（SSS）3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)相似三角形的模型方法总结：“反A”型与“反X”型.示意图结论EDCBA反A型：如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE∽△ACB（AA），∴AE·AC=AD·AB.若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)ODCBA反X型：如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOC（AA），∴OA·OC=OD·OB.若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC.“类射影”与射影模型示意图结论ABCD类射影：如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB（AA），∴2AB=AD·AC.CABH射影定理如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则222,,ACAHABBCBHBAHCHAHB相似三角形6大证明技巧第2讲相似三角形证明方法模块一14“旋转相似”与“一线三等角”示意图结论ABCDE旋转相似：如图，已知△ABC∽△ADE，则ABADACAE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE（SAS）CBAED一线三等角：如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA）巩固练习反A型与反X型已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）AEABAFAC（2）∠BEO=∠CFO，∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCBOFECBA类射影如图，已知2ABACAD，求证：BDABBCACABCD射影定理已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：2ACAHAB，2BCBHBA，2HCHAHB1515通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”.但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算【例1】如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：DCCFAEAD．ABCFDE【例2】如图，ABC△中，90BAC，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：2AMMDMECBAEDM【例3】如图，在RtABC△中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F．求证：BFABBEBC．DBACFE比例式的证明方法模块二技巧一：三点定型16悄悄地替换比例式中的某条线段…【例4】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：2FDFBFCABCDEF【例5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，ECAD．求证：ACBECEAD．CBADEF【例6】如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：2ABBECDABCDE【例7】如图，ABC△中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB∥，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：2BPPEPF．CBADPEF技巧二：等线段代换1717【例8】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线于F，求证：2OBOEOF．OFEDCBA【例9】如图，在ABC△中，已知90A时，ADBC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：ABAFACDF．EFCABD【例10】如图，在ABC△中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BPCECPBDECDBAP技巧三：等比代换18PMNDABC【例11】如图，ABC△中，BD、CE是高，EHBC于H、交BD于G、交CA的延长线于M．求证：2HEHGMH．ABCDEHGM【例12】如图，在ABC△中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，连EF，求证：∠AEF=∠CFEDCBA【例13】如图，在ABC△中，90BAC，D为AC中点，AEBD，E为垂足，求证：CBDECD．CBADE【例14】在Rt△ABC中，AD⊥BC，P为AD中点，MN⊥BC，求证2MNANNC技巧四：等积代换1919【例15】已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC，BE、BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.FMNEDCBA【例16】已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：AM=NC，MN//DE.DCBAEMN【例17】如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF⊥BC，PE⊥AC，AF交PE于N，BE交PF于M.，求证：PM=PN，MN//AB.CBAPEFNM技巧五：证等量先证等比20【例18】如图，正方形BFDE内接于△ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M，CE与AF交于点P.求证：（1）MN//AC；（2）EM=DN.PNMEFDABC【例19】（※）设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP//CF，Q在CE上，DQ//BE，PQ交BE于R，交CF于S，求证：13RSPQCBADPQSEFGR2121【例20】（※）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN.QNSPRKMODCBA【例21】（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求FGDG的值.HMFGEDCBA技巧六：几何计算22【例22】（2016七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α.求证：（1）EF＋EG＝AE（2）求证：CE＋CG＝AF