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1A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD结论：面积法得AB•CD=AC•BC→比例式证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形三点定形法①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·ADEABCDEABCDBCADEDCBA2②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形求证：BD•CN=BM•CE．③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BP•PC=BM•CN有射影，或平行，等比传递我看行①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，3FEDABCE为AC的中点，求证：AB•AF=AC•DF③梯形ABCD中，AD//BC，作BE//CD,求证：OC2=OA.OE四共线，看条件，其中一条可转换；①Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BE•FC4②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，求证：BP2=PE·PF。③AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F.求证：DE2=BE·CE.12FEDBCA5☞两共线，上下比，过端平行条件边。①AD是△ABC的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.②在△ABC中，AB=AC，求证：DF:FE=BD:CE.③在△ABC中，ABAC，D为AB上一点，E为AC上一点，AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP:CP=BD:CE.321EDABCPDABCE6④在△ABC中，BF交AD于E.(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC；(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4求:AF:FC⑤在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AD于P，交AE于Q，若BM=10cm，试求BP、PQ、QM的长.EABCDF7过F做FI//BC，交AD于I，交AE于J过P做PK//BC交AE于K∵F是AC的中点∴FI：CD=1：2∵D，E是BC的三等分点∴BD：DE：EC=1：1：1∴BD;DC=1:2∴IF=BD∴BP：FP=1:1=DP:PI∵F是AC的中点，FI//BC∴I是AD的中点∴AP：⑥△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E点能否为BC中点？如果能，求出8相应的的值；如果不能，证明你的结论。☞彼相似，我条件，创造边角再相似①AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，试说明△EBC∽△DEB②已知ABD∽ACE，求证：ABC∽ADE．③D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC。④D、E分别在△ABC的AC、AB边上，9且AE•AB=AD•AC，BD、CE交于点O.求证：△BOE∽△COD.2、间接法：⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换；⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。彼相似，我角等，两边成比边代换。可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用OCDBAE10相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幂（3）等比代换：若dcba,,,是四条线段，欲证dcba，可先证得feba（fe,是两条线段）然后证dcfe，这里把fe叫做中间比。☞斜边上面作高线，比例中项一大片②ABCD11☞FBACDE