立体几何中的向量方法

以单位正方体的顶点O为原点,分别以射线OA，OC，的方向为正方向,以线段OA,OC,的长为单位长度,建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系。CBADOABCDODOOxyz一、空间直角坐标系：yxzABC'A'B'C'DO点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、和zox平面．oxyz1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴．135013502.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半．空间直角坐标系的画法：xyzO(3,4,2)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,2)(3,4,0)3AB'A'D'B'C2C4.,243:1写出所有点的坐标，，中，在长方体例DOOCOACBADOABC0,0,02,4,02,0,3z1xy1练1请你作一个空间直角坐标系，并在空间直角坐标系中，作出点（5，4，6）（5，4，6）O546变式在空间直角坐标系中，作出点（-5，4，6）练习2、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点C，B`，P的坐标.zxyOACD`BA`B`C`PP`343练习zxyABCOA`D`C`B`QQ`3、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.二、空间向量的坐标表示练1：在空间直角坐标系中，已知A=（2，1，3），B=（1，—2，5），则_____AB______BA练2：在空间直角坐标系中，已知A=（2，x，y），则B=________），，（52-1AB3如图，正方体1111ABCDABCD中，棱长为2，E，F分别是1BB，11DB中点，求向量EFDBOA,,111的坐标。三、空间向量的数量积运算四.空间共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使baobba//),(,bacos||||babaab112233abababab1122330.(,)abababab都不是零向量练1：在空间直角坐标系中，已知___),1,5,1(),5,2,3(baba则练2：在空间直角坐标系中，已知______,//),2,y,x(),1,2,4(yx，baba则且3如图，正方体1111ABCDABCD中，棱长为2，E，F分别是1BB，11DB中点，求向量的位置关系与与111,BDEFBCOA。五、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。已知(,,)axyz,则222axyz练1：在空间直角坐标系中，已知_________),1,5,1(),5,2,3(bababa，则3如图，正方体1111ABCDABCD中，棱长为2，E，F分别是1BB，11DB中点，求EF。||ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()ABdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab已知111222(,,),(,,)axyzbxyz则121212222222111222cos,xxyyzzabababxyzxyz练1：在空间直角坐标系中，已知.),1,5,1(),5,2,3(ba求与所成的角的余弦值.ba练2如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO3.中点坐标公式已知111222(,,),(,,)AxyzBxyz则线段AB的中点坐标为121212(,,)222xxyyzz3.2.1立体几何中的向量方法——方向向量与法向量如图,l为经过已知点A且平行于非零向量a的直线,那么非零向量a叫做直线l的方向向量。lAPa１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量APta一、方向向量与法向量2、平面的法向量AalP平面α的向量式方程0aAP换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为___________(2)平面OABC的一个法向量坐标为___________(3)平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)例2.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.总结:如何求平面的法向量⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.令x、y、z中某个为定值练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),11(0,,)22PE依题意得DB(1,1，0)11(0,,)22DEDB=(1,1，0)XYZ设平面EDB的法向量为(,,1)nxy,nnDEDB则1101,1,1220ynxy于是如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC.求平面A1BD的一个法向量因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决立体问题