第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理

与圆有关的定理第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA•PB证明：连接AT,BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT2=PB•PA2、推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言：∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（2）几点说明对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．基础知识运用：例1.如图4，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理(1+x)2=(1-x)2+12,x=41∴DE=1-41=43，AE=1+41=45，∴DE：AE=43：45=3:5针对性练习：1、已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A.320B.325C.5D.8例2.如图5，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4∴PB＝4PA又∵PC＝12cm由切割线定理，得PC2=PAPB∴122=PA4PA∴PA2=36，∴PA=6（cm）∴PB＝4×6＝24（cm）∴AB＝24－6＝18（cm）设圆心O到AB距离为dcm，由勾股定理，得d=22910=19（cm）故应填19。,针对性练习：2.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA•PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。3.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。4、如图6，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。参考答案：1、A2、13、304、证明：如图7，连结AC，则AC⊥CB∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，∴BC平分∠DCP