结构动力学概述

第一章结构动力学概述结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。动荷载的特性结构的动力特性结构响应分析输入input输出Output结构体系静力响应静荷载位移内力应力刚度、约束杆件尺寸截面特性大小方向作用点结构体系动力响应输入input输出Output动荷载动位移加速度速度动应力动力系数随时间变化质量、刚度阻尼、约束频率、振型大小方向作用点时间变化数值时间函数结构动力体系§1-2动荷载的定义和分类荷载：荷载三要素：荷载分类：作用在结构上的主动力大小、方向和作用点作用时间：作用位置：对结构产生的动力效应：恒载活载固定荷载移动荷载静荷载动荷载大小、方向和作用点不随时间变化或变化很缓慢的荷载。静荷载：动荷载：大小、方向或作用点随时间变化很快的荷载。是否会使结构产生显著的加速度快慢标准：质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比是否可以忽略显著标准：动荷载的定义荷载在大小、方向或作用点方面随时间变化，使得质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，则把这种荷载称为动荷载。问题：你知道有哪些动荷载？动荷载的分类：概念：动荷载是时间的函数！分类：动荷载确定性荷载非确定性荷载周期性荷载非周期性荷载FPt突加荷载FPt冲击荷载确定性荷载：例如：简谐荷载FPt荷载的变化是时间的确定性函数。非确定性荷载：例如：风荷载地震作用0501001502002503000510152025t(sec)Windspeed(m/s)平均风脉动风-2000200400t(sec)01020304050515253545Acceleration(cm/s)2荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，又称为随机荷载。结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为结构振动分析。结构在随机荷载作用下的响应分析，被称为结构的随机振动分析。本课程主要学习确定性荷载作用下的结构振动分析。与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：§1-3动力问题的基本特性PP(t)•动力问题具有随时间而变化的性质；•数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；•惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分！•引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；•需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响；t§1-4离散化方法1.集中质量法把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块。适用于大部分质量集中在若干离散点上的结构。例如：房屋结构一般简化为层间剪切模型。1m2m3m例如：m11xm22xmkkxmNNxm1m2mkmNm适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。例如：右图简支梁的变形可以用三角函数的线性组合来表示。2.广义坐标法假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示：lxnbxnnπsin)(1lxbπsin1lxb2πsin2lxb3πsin3)(xnkkkxtAtxy1)()(),(则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。定义假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为y(x,t)，可用一系列位移函数的线性组合来表示：)(xklxnbxnnπsin)(1广义坐标位移函数广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。所采用的广义坐标数代表了所考虑的自由度数。3.有限单元法先把结构划分成适当（任意）数量的单元；对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标；对每个广义坐标取相应的位移函数（插值函数）；由此提供了一种有效的、标准化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。要点：——将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数。综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分析之用。包括静力、动力和稳定分析。大型桥梁结构的有限元模型§1-5运动方程的建立在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。定义运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。建立体系运动方程的方法直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。虚功法:根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。变分法:通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程。kcm()yt()Ft单自由度体系模型质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性自由度只有一个：水平位移y(t)无重弹簧，刚度为k，提供结构的弹性恢复力无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力随时间变化的荷载F(t)第二章运动方程的建立单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）kcm()yt()Ft()yt建立计算模型)(tFFFFSDI取质点为隔离体画平衡力系建立平衡方程IFDFSF)(tF直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。直接平衡法根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度法和柔度法。)(tFFFFSDI平衡方程：ymFIycFDkyFS根据d’Alembert原理：等于弹簧刚度与位移的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：由此得到体系的运动方程：)(tFkyycym（2-3）惯性力：弹性力：阻尼力：()yt()FtSFDFIF刚度法:取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。kcm()yt()Ft()ytIFDFSF)(tF)(tFFFFSDI平衡方程：试用刚度法建立图示刚架的运动方程m1EIEIEI2l1lPF(t)[解]1）确定自由度数:横梁刚性，柱子无轴向变形。)(ty)(tFPIFDF2SF1SF2）确定自由度的位移参数。3）质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！4）列动平衡方程：1个自由度。021SSDIPFFFFtF)()(tyymFIycFDylEIFS32212其中各力的大小：位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力等效粘滞阻尼力：212li柱端发生平移y时产生的梁-柱间剪力：ylEIFS31112EIl1由此得到体系的运动方程：)(tFylEIlEIycymP32311212惯性力：021SSDIPFFFFtF)(弹性力Fs=Fs1+Fs2：由此得到体系的运动方程：)(tFkyycymP比较：kcm()yt()Ft)(tFkyycym（2-3）m1EIEIEI2l1lPF(t))(ty)(tFylEIlEIycymP32311212；k为（等效）刚度系数。3231211212lEIlEIFFkSS令：运动方程与(2-3)的形式是一样的！柔度法以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调条件建立体系的运动方程。[例]试用柔度法建立图示简支梁的运动方程qt()mEIl[解]1）确定自由度数:集中质量，仅竖向位移：)(ty2）确定自由度的位移参数：质量m的位移：3）体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！1个自由度。qt()DFIF4）列位移方程：)(DIPFFy改写成：PDIyFF1)(ty)(tqEIlP38454p为动荷载q(t)引起的质量沿y方向的位移：其中：为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度：EIl483惯性力：ymFI阻尼力：ycFDPDIyFF1由此得到体系的运动方程：)(tqlyycym851qt()位移方程：)(ty比较：kcm()yt()Ftqt()mEIl)(tFyycymE1含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与实际动荷载产生的位移相等！)(tqlyycym851)(tFkyycym令：)()(tqltFE85FE(t)定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式PEtF)(（2-3）已经知道柔度和刚度k之间的关系为：1k结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：)(tFkyycymP比较：)(tFkyycymP刚架：)(tFkyycym（2-3）基本质量弹簧体系：)(tFkyycymE表达式成为：简支梁：§2-5广义单自由度体系：刚体集合刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性元件中）分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。1）确定自由度数:1个自由度。2）体系受力分析。aaaaaa2fD1p1=8p()taABCDD'E'EF'FG'GB'MI1a83fD2fS1fS2fI1fI2()tZE2-1xaaaaaa2c2c1k1k2m2mpx,t()=p()txa铰无重刚杆绞ABC)(43)'(111tZkEEkfSaaaaaa2fD1p1=8p()taABCDD'E'EF'FG'GB'MI1a83fD2fS1fS2fI1fI2()tZ)(31)'(212tZkGGkfS)(41)'(111tZcDDdtdcfD)(22tZcfD)(2)(214)(2111tZmatZamtZmfI)(34)(12)4(4)(41M221tZmatZaamtZaIoI)(3222tZmfI)(81tappW令体系产生虚位移：所有力在虚位移上产生的总虚功：ZtaptZkktZcctZmmamaW)(316)(91169)(161)(943121212aaaaaa2fD1p1=8p()taABCDD'E'EF'FG'GB'MI1a83fD2fS1fS2fI1fI2()tZZZfD411ZfI211ZaMI411ZfS431ZfD2ZfI322ZfS312ZP321)(316)(91169)(161)(943421212taptZkktZcctZmam)()()()(****tptZktZCtZm2*9434mamm广义质量：21*161ccc广义阻尼：21*91169kkk广义刚度：)(316)(*taptp广义荷载：简化形式：0W令：，有：xaaaaaa2c2c1k