行程-图示解法(柳卡图)

行程—图示解法(柳卡图)周艳丽1/16行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。即从哈佛开出的轮船在到达纽约前，途中能遇上6+7=13艘从纽约开来的轮船。法二：柳卡图哈佛出发的轮船行全程的时间：7天，纽约出发的轮船行全程的时间：7天。行程—图示解法(柳卡图)周艳丽2/16横轴：时间(单位:1天)纵轴：路程红线：哈佛出发的船蓝线：纽约发出的船交点：相遇点由图可知：从哈佛开出的轮船在到达纽约前，途中能遇上13艘从纽约开来的轮船．柳卡图，不用基本公式解决，用数形结合的思想，结合时间-距离图快速解题。画图步骤如下：第一步：确定两个方向行驶全程的时间，从而确定时间单位，即时间轴上最小的一格所代表的时间。第二步：根据往返时间确定每次往返两地的时刻，画上往返两地的线段。其中交点表示同一时间出现在同一位置，即“相遇”了，那么“相遇的次数”，“相遇的地点”均可求出。若结合几何相似模型，还可以求出相遇点距离起点和终点等的实际距离。三、柳卡图应用(1)适用题目类型：多次往返相遇问题、固定点(端点等)变速问题(2)快速化柳卡图方法：先确定来和回的时间或时间份数(3)用柳卡图求路程：结合沙漏、燕尾等四、柳卡图解决多次往返相遇问题【例题】如图，甲、乙两人在相距70米的甲乙两端同时出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，他们相遇的地点分别用A、B、……、G表示，问：(1)A点到甲地的距离为_______米；(2)B点到甲地的距离为_______米，到乙地的距离为_______米；(3)C点到乙地的距离为_______米；(4)F点到G点的距离为_______米（提示：F点到甲地距离减去G点到甲地的距离）。【答案】(1)30；(2)50，20；(3)60；(4)20【分析】甲乙速度比3:4，则二人走一个全程需时间比为4:3，设甲走1个全程的时间为4t，乙走1个全程的时间为3t。横轴：时间(单位:t)纵轴：路程(单位:m)红线：甲蓝线：乙交点：相遇点结合几何相似模型“沙漏”中相似三角形对应边成比例，如图：行程—图示解法(柳卡图)周艳丽3/16可分别求出：(1)A点距甲地30米(2)B点距甲地50米，距乙地20米(3)F点距甲地50米，G点距甲地30米，F点到G点的距离为50-30=20米。复习题一、S-T图1.一个人开车从甲地到乙地，到乙地立即返回。甲乙相距15千米，他去的时候用了40分钟，回来的时候用了60分钟，在下面的图中画出他的行程过程。2.聪聪在乙地休息了60分钟后又返回了甲地，根据图中信息，求聪聪去时的速度和回来时候的速度，看看他什么时候开得快。3.一个人步行从A地到B地，再从B地返回A地。根据下图所示信息，求出他的平均速度。行程—图示解法(柳卡图)周艳丽4/164.一个人步行返于AB之间。根据下图所示信息，求出他的平均速度。5.龟兔从同一起点进行200米赛跑，兔子在途中睡觉休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子醒来再起身向前跑去。根据图中的信息可知，则兔子醒来再起身以每分钟_______米的速度才能和乌龟同时到达终点．6.龟兔从同一起点起跑，快跑的兔子在途中睡觉休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子醒来再起身向前跑去。根据图中的信息可知，若兔子能在到达终点之前赶上乌龟，则比赛的路程至少应为______米。7.甲乙两人都从A地去往B地，甲先出发1小时后乙再出发。结果乙比甲提前1小时到达B地，问：乙在什么地方追上甲？行程—图示解法(柳卡图)周艳丽5/16二、发车间隔问题8.一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？9.AB是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A，B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80分。问：（1）8:30、9:00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？（2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？10.每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？行程—图示解法(柳卡图)周艳丽6/1611.甲乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？12.—辆公共汽车12:00开始从A车站出发，往返于AB两个公交车站之间，若从A→B用3个小时，从B→A用4个小时。有一个行人13:00时从B车站步行去A车站，已知他花了8个小时到达A车站，问，途中，他遇到几次这辆公共汽车？三、多次往返相遇问题13.两名游泳运动员在长30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米，他们同时从游泳池的一端出发，来回一共游了21分钟，他们一共遇上（迎面或同向）几次？行程—图示解法(柳卡图)周艳丽7/1614.甲、乙二人同时从A地出发同向而行去往B地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，甲、乙到B地后立即返回A地．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点20千米(两人相遇指迎面相遇），那么，A、B两地相距________干米．15.A、B两地相距950米，甲、乙两人同时由A地出发，在A、B两地往返锻炼。甲步行每分钟40米，乙跑步每分钟150米，40分钟后停止运动。甲、乙两人第几次迎面相遇相距B地最近？最近距离是多少米？16.一条大河，水由A港流向B港，流速4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停的在A、B之间往返航行，甲船在静水中的速度是28千米/时，乙船在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇的地点与两船第五次相遇的地点相距50千米，那么A、B两港相距________千米．行程—图示解法(柳卡图)周艳丽8/1617.兔、龟在甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的3倍，它们分别在甲、乙两地同时相对起跑，当它们在途中相遇了12次时，龟正在跑第________个单程．(2006年·《小学数学ABC》精选题)18.甲乙二人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米。每人都走了6.5分钟，那么在这段时间内他们共相遇了次。19.甲乙二人同时从A地出发同向而行去往B地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到B地后立即返回A地。已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距多少千米？行程—图示解法(柳卡图)周艳丽9/16详解1.【解析】如图，以20分钟为基本单位画时间轴。从出发开始离出地(甲地)越来越远，直到到达15千米的位置(乙地)，用时40分钟，这一阶段为一条向上的直线。从乙地返回时，始离出地(甲地)越来越近，直到到达0千米的位置(甲地)，用时60分钟，这一阶段为一条向下的直线。2.【解析】如图可知去时从O点到A点，路程为45千米，用时30分钟，速度为45÷30=1.5千米/分钟回时从B点到C点，路程为45千米，用时140-90=50分钟，速度为45÷50=0.9千米/分钟。可知去时开得快。3.【解析】如图可知，从O点到C点表示这个人步行从A地出发到达B地的过程，此时离出发点(A地)越来越远直到达到80千米，此时到达B地。CD段地点没有变化，即停留在B地。从D到E点表示这个人步行从B地出发到达A地的过程，此时离出发点(A地)越来越近直到达到0千米，此时返回A地。总路程：80×2=160千米总时间：160分钟平均速度：160÷160=1千米/分钟。4.【解析】如图可知，从O到C：由A地到B地；从C到D：由B地到A地；从D到E：由A地到B地；从E到F：停留在B地；从F到G：由B地到A地。总路程：90×4=360千米总时间：360分钟平均速度：360÷360=1千米/分钟。5.【解析】由图可知，乌龟30分钟行程150米，速度为150÷30=5米/分钟，到达终点需200÷5=40分钟．兔子醒来时已过了39分钟，距离终点200-150=50米．故兔子的速度为50÷(40-39)=50米/分钟时才能和乌龟同时到达终点．行程—图示解法(柳卡图)周艳丽10/166.【解析】由图可知，乌龟30分钟行程150米，速度为150÷30=5米/分钟。兔子5分钟跑了150米，兔子的速度时150÷5=30米/分钟。兔子睡觉的时间乌龟跑了5×(40-30)=50米，到达终点需200÷5=40分钟．兔子要想赶上乌龟至少需要50÷(30-5)=2分钟，即兔子醒后至少要跑30×2=60米才能追上乌龟。比赛路程至少为150+60=210米。7.【解析】法一：画行程图乙追上甲之前与追上甲之后，乙所多走的路程均为甲一小时的路程，即路程差相等。则乙追上甲之前和之后所行时间相等，可知乙在全程中点处追上甲。法二：S-T图由图可知，两个三角形完全相同，可知乙在AB中点追上甲。8.【解析】法一：推理骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。骑车过程中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，所以骑车从乙站到甲站的时间是5×8=40分钟法二：柳卡图汽车行全程的时间为15分钟，每5分钟发一辆车。横轴：时间(单位:5分钟)，纵轴：路程，黑线：车，红线：人交点：相遇点骑车人一共看到12辆车，他从乙站出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。到达甲站时看到的是第12辆车。由图可知，这个人用了8个间隔，即5×8=40分钟的时间，从甲站到达了乙站。行程—图示解法(柳卡图)周艳丽11/169.【解析】法一：推理(1)从A站发车的司机看到的车辆包括两类，一类是该司机发车前已从B站出发且尚未到达A站的所有车辆，即该司机发车前80分钟内B站发出的车辆。第二类是该司机发车后