运筹学-第五章-整数规划

1第五章整数规划2整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划，可分成线性和非线性两类(本章讨论线性）。根据变量的取值性质，又可以分为纯整数规划，混合整数规划，0-1整数规划等。3整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前只能解中等规模的线性整数规划问题，而非线性整数规划问题，还没有好的办法。4例：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品，氧气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性系数和重量如下，假定登山队员可携带最大重量为25公斤。问：如何装备？5序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷相机设备重量55261224重要系数2015181484106解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表示成0-1规划:MaxZ=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7s.t.5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x725xi=1或xi=0i=1,2,….77例背包问题(KnapsackProblem)一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要在背包内装一些最有用的东西,但有个限制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了一个“价值”以表示其有用的程度,如果共有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?8解：如果令xj=1表示携带物品j，xj=0表示不携带物品j，则问题表示成0-1规划:MaxZ=Σcjxjs.t.Σajxjbxj=0或19例用集装箱托运货物问：甲乙货物托运多少箱，使总利润最大？货物m3/箱百斤/箱百元/箱甲5220乙4510限制2413分析：设x1为甲货物托运箱数，x2为乙货物托运箱数。则maxz=20x1+10x25x1+4x2≤24①2x1+5x2≤13②x1,x2≥0x1,x2取整数10图解法：x1x243210124.8①2.6②(4,1)∴x1*=4x2*=1zI*=90maxz=20x1+10x25x1+4x2≤24①2x1+5x2≤13②x1,x2≥0x1,x2取整数11一般，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。对于max问题，zI*≤zl*对于min问题，zI*≥zl*12数学模型整数规划(IP)的一般数学模型:MaxZ=Σcjxjs.t.Σaijxjbi(i=1,2,…m)xj0且部分或全部是整数13特殊约束的处理（IP的应用）互斥约束矛盾约束在建立数学模型时，有时会遇到相互矛盾的约束，模型只要求其中的一个约束起作用。14例：下面两个约束相互矛盾f(x)-50(1)f(x)0(2)引入一个整数变量来处理-f(x)+5M（1-y)(3)f(x)My(4)M是足够大的整数，y是0-1变量15当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。以上方法可以处理绝对值形式的约束f(x)a(a0)此时f(x)a(5)f(x)-a(6)是矛盾约束。f(x)-50(1)-f(x)+5M（1-y)(3)f(x)0(2)f(x)My(4)16引入一个整数变量来处理-f(x)+aM（1-y)f(x)+aMyM是足够大整数，y是0-1变量注意：对|f(x)|a(a0)不必引入0-1变量，因为f(x)a和f(x)-a并不矛盾。f(x)a(5)f(x)-a(6)17例：两个约束条件2x1+3x28x1+x22只能有一个成立，试用0-1变量来表示这个要求。解：引入0-1变量y和足够大的正数M，则188-2x1-3x2M（1-y)x1+x2-2My当y=0,x1+x22成立，而2x1+3x28-M自然成立，从而是多余的；当y=1,2x1+3x28成立，而x1+x22+M自然成立，从而是多余的。2x1+3x28x1+x2219多中选一的约束例如：模型希望在下列n个约束中，只能有一个约束有效，fi(x)0i=1,2,….n.引入n个0-1变量yi,i=1,2,…n,则上式可改写为：fi(x)M(1-yi)y1+y2+…+yn=120如果希望有k个约束有效，则：fi(x)M(1-yi),y1+y2+…+yn=k如果希望至多有k个约束成立，则：如果希望至少有k个约束成立，则：fi(x)M(1-yi),y1+y2+…+ynkfi(x)M(1-yi),y1+y2+…+ynk21逻辑关系约束比较典型的逻辑关系是if-then关系，也称if-then约束，这类逻辑关系一般涉及两个约束，如果第一个约束成立，则第二个约束也必须成立，否则，如果第一个约束不成立，则第二个约束也可以不成立。可以描述如下：22如果f(x)0成立，则g(x)0必须成立；如果f(x)0不成立，则对g(x)无限制。引入0-1变量：f(x)-M(1-y)(*)g(x)My23如果f(x)0成立，则y不能为1，否则与（*）矛盾；所以y=0,g(x)0成立。如果f(x)0（即f(x)0不成立）则y的取值已无关紧要，因为y取任何值（*）总成立，所以y的取值不由（*）控制，因此g(x)的取值不受任何限制。f(x)-M(1-y)(*)g(x)My24解法概述当人们开始接触整数规划问题时，常会有如下两种初始想法：因为可行方案数目有限，因此经过穷举法一一比较后，总能求出最好方案，例如，背包问题充其量有2n种方式，实际上这种方法是不可行。设想计算机每秒能比较1000000个方式，那么比较完260种方式，大约需要360世纪。25先放弃变量的整数性要求，解一个线性规划问题，然后用“四舍五入”法取整数解，这种方法，只有在变量的取值很大时，才有成功的可能性，而当变量的取值较小时，特别是0-1规划时，往往不能成功。26例求下列问题：MaxZ=3x1+13x2s.t.2x1+9x24011x1-8x282x1,x20,且取整数值27O1234567891054321x1x2I(2,4)B(9.2,2.4)AD放弃整数要求后，最优解B(9.2,2.4)Z0=58.8，而原整数规划最优解I(2,4)Z0=58，实际上B附近四个整点(9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。MaxZ=3x1+13x2s.t.2x1+9x24011x1-8x282x1,x20,且取整数值28O1234567891054321x1x2I(2,4)B(9.2,2.4)AD假如能求出可行域的“整点凸包”（包含所有整点的最小多边形OEFGHIJ），则可在此凸包上求线性规划的解，即为原问题的解。但求“整点凸包”十分困难。EFGHIJ29O1234567891054321x1x2I(2,4)B(9.2,2.4)AD假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1P2P3P4P5之和,P3P5的定义域都是空集,而放弃整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58P2最优解(6,3),Z2=57P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11)P1P2P4P3P530X12X16X23X22X13X17X24X23P1P5P4P2P3P31假如放弃整数要求后，用单纯形法求得最优解，恰好满足整数性要求，则此解也是原整数规划的最优解。以上内容中描述了目前解整数规划问题的两种基本途径。325.1分枝定界法（BranchandBoundMethod)原问题的松驰问题：任何整数规划（IP），凡放弃某些约束条件（如整数要求）后，所得到的问题（P）都称为（IP）的松驰问题。最通常的松驰问题是放弃变量的整数性要求后，（P）为线性规划问题。33去掉整数约束,用单纯形法IPLPxl*判别是否整数解xI*=xl*Yes去掉非整数域No多个LP……34分枝定界法步骤一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况：若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。35分枝定界法步骤一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况：若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。若松驰问题无可行解，则原整数规划问题也无可行解，计算结束。36若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。37若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。从不满足整数条件的基变量中任选一个xl进行分枝，它必须满足xl[xl]或xl[xl]+1中的一个，把这两个约束条件加进原问题中，形成两个互不相容的子问题（两分法）。38定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。39定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清为止。40例：用分枝定界法求解：MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20整数用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解（6/5，21/10）Z=111/10为各分枝的上界。41012344321x1x2分枝：x11,x12P1P2（6/5，21/10）42两个子问题：（P1）MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20，x11，整数用单纯形法可解得相应的（P1）的最优解（1，9/4）Z=10(3/4)43（P2）MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20，x12，整数用单纯形法可解得相应的（P2）的最优解（2，1/2）Z=9(1/2)44012344321x1x2再对（P1）x11（1，9/4）分枝：（P3）x22（P4）x23P1P2P3P445（P1）两个子问题：（P3）MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20,x11,x22整数用单纯形法可解得相应的（P3）的最优解（1，2）Z=10为上界46（P1）两个子问题：（P4）MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20,x11,x23整数用单纯形法可解得相应的（P4）的最优解（0，3）Z=947X12X22X11X23P1:(1,9/4)Z=10(3/4)P4:(0,3)Z=9P2:(2,1/2)Z=9(1/2)P3:(1,2)Z=10P:(6/5,21/10)Z=111/10原问题的最优解（1，2）Z=1048例用分枝定界法求解：MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20整数用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解（10/3，4/3）Z=26/3为各分枝的下界。49012345687654321x1x2p50012345687654321x1x2p（10/3，4/3）选x1进行分枝：(P1)x13(P2)x14为空集P151（P1）MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20，x13整数用单纯形法可解得（P1）的最优解（3，3/2）Z=952（P2）MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20x14整数无可行解。53012345687654321x1x2p对(P1)x13选x2进行分枝：(P3)x21无可行解(P4)x22P454（P3）MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20，x13，x21整数无可行解。55（P4）MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20，x13，x22整数用单纯形法可解得（P4）的最优解（2，2）Z=1056X14X21X13X22P1:(3