高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点总结

第1页共6页第四章圆与方程1.★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P={M||MA|=r}★2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外;当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内;（2）一般方程022FEyDxyx（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4（0422FED）当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ24条外切ｄ＝ｒ1+ｒ23条相交|ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ22条内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2|1条内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条第2页共6页★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法）注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线★5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程①若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程；②若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；③若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线，得到的切线长相等（反之，亦成立）★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）③代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式：|ＡＢ|＝21k|ｘ1-ｘ2|（或者|ＡＢ|＝211k|y1-y2|）求解★7、已知两圆相交，求公共弦的长度①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长②代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A、B）；公共弦直线方程与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式：|ＡＢ|＝21k|ｘ1-ｘ2|（或者|ＡＢ|＝211k|y1-y2|）求解③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）④几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）★8、圆系与圆系方程(1)圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2)圆系方程：（一）.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)--（Ⅰ）①若圆C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P1、P2两点的圆的方程。②若圆C1与圆C2交于Ｐ点（一个点），则方程（Ⅰ）代表与圆Ｃ1、圆Ｃ2相切于Ｐ点的圆的方程。（二）.直线ｌ：Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ＝0与圆Ｃ：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交或相切则过它们的交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ）＝0★9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论第3页共6页ABCPP'xy(4,1)(0,4)o轴对称例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L对称点，则由得：31BCk3lk，，方程为：431xy，将其与直线y=3x-1联立，∴直线BC的解得：D27,23,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：092yx，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），故直线AB的方程易求得为：443xy。它即为反射光线方程。直线和圆1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆074422yxyx相切，求光线L所在直线方程．解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2kkd．第4页共6页整理得,01225122kk解得3443kk或．故所求的直线方程是)3(433xy，或)3(343xy，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．2．已知圆C：044222yxyx，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．（14分）解：圆C化成标准方程为:2223)2()1(yx假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CM⊥L，∴kCMkL=－1∴kCM=112ab，即a+b+1=0，得b=－a－1①直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0∴CM=23ab∵以AB为直径的圆M过原点，∴OMMBMA2)3(92222abCMCBMB，222baOM∴2222)3(9baab②把①代入②得0322aa，∴123aa或当25,23ba时此时直线L的方程为：x－y－4=0；当0,1ba时此时直线L的方程为：x－y+1=0故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0或x－y+1=0．4．已知圆C:252122yx及直线47112:mymxml.Rm（1）证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．解:(1)直线方程47112:mymxml,可以改写为0472yxyxm,所以直线必经过直线04072yxyx和的交点.由方程组04,072yxyx解得1,3yx即两直线的交点为A)1,3(又因为点1,3A与圆心2,1C的距离55d,所以该点在C内,故不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交.(2)连接AC,过A作AC的垂线,此时的直线与圆C相交于B、D.BD为直线被圆所截得的最短弦长.此时,545252,5,5BDBCAC所以.即最短弦长为54.第5页共6页又直线AC的斜率21ACk,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程为:.052,321yxxy即5（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．解：由01220503206222myyyxmyxyx51242121myyyy又OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=5274m∴05125274mm解得m=36.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-23，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N.∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.【解】设圆D的方程为),0()(222rrbyx那么).,0(),,0(rbNrbM因为圆D与圆C外切,所以.124162222rrbbr又直线NAMA,的斜率分别为.32,32rbkrbkMBMA.334341234323213232tan22MANrrrbrrbrbrbrbMAN为定值夹角问题例5(06全国卷一文)从圆012222yyxx外一点)2,3(P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()xyPQO第6页共6页(A)21(B)53(C)23(D)0解已知圆化为1)1()1(22yx，即得圆心)1,1(C和半径1r.设由)2,3(P向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径r和PC构成的直角三角形中，522cos，∴5312cos2cos2，故选(B).点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径r和PC所构成的直角三角形中求得2的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.