高考数学函数性质的综合应用

第5讲函数性质的综合应用一、高考要求函数的综合应用在高考中的分值大约为20分左右，题型的设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的综合应用是高考考查的主要着力点之一．二、两点解读重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．三、课前训练1．已知aR，函数axxfsin)(，xR为奇函数，则a（B）（A）－1（B）0（C）1（D）12．“1a”是“函数||)(axxf在区间),1[上为增函数”的（A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3．若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间]2,2[b，则b的值为24．已知)(46)(Rkxkxxf，0)2(lgf，则)21(lgf-8．四、典型例题例1设函数)(xf是定义在R上的以3为周期的奇函数，若1)1(f，143)2(aaf，则a的取值范围是（）（A）43a（B）43a且1a（C）43a或1a（D）431a解：∵)(xf以3为周期，所以)1()2(ff，又)(xf是R上的奇函数，∴)1()1(ff，则)1()1()2(fff，再由1)1(f，可得1)2(f，即1143aa，解之得431a，故选D例2设)(1xf是函数1()()(1)2xxfxaaa的反函数，则使1)(1xf成立的x的取值范围为（）（A）),21(2aa（B）)21,(2aa（C）),21(2aaa（D）),[a解：∵)(xf是R上的增函数，∴1()1fx，即xf(1).又aaaaf21)(21)1(21，∴aax212，故选A．例3已知函数xbxxf32)(，若方程xxf2)(有两个相等的实根，则函数f(x)的解析式为．解：∵xbxxf32)(，∴方程xxf2)(即为xxbx232，则0)4(62xbx．因为方程有两个相等的实数根，所以b=4时x=0，符合题意．∴234)(xxxf例4对a，bR，记,,max{,},.aababbab≥函数()max{1,3}fxxx（xR）的最小值是．解：.31,3,31,1}3,1max{)(xxxxxxxxxf化简得：.1,3,1,1)(xxxxxf在坐标系中作出)(xf的图象，可知：当1x，时)(xf为增函数，2)1()(minfxf；当1x，时)(xf为减函数。∴2)1()(fxf。综上，2)1()(minfxf例5对定义域是fD，gD的函数)(xfy，)(xgy，规定：函数.),(,),(,),()()(gfgfgfDxDxxgDxDxxfDxDxxgxfxh且当且当且当（Ⅰ）若函数11)(xxf，2)(xxg，写出函数)(xh的解析式；（Ⅱ）求问题（1）中函数)(xh的值域；（Ⅲ）若)()(xfxg，其中是常数，且,0，请设计一个定义域为R的函数)(xfy，及一个的值，使得xxh4cos)(，并予以证明．解：(Ⅰ)2,(,1)(1,),()11,1.xxhxxx(Ⅱ)当x≠1时,()hx=12xx=（x—1）+11x+2．①若x1时,则()hx≥4，其中等号当2x时成立；②若x1时，则()hx≤0，其中等号当x=0时成立．所以函数()hx的值域是(∞，0]{1}[4，+∞)．(Ⅲ)令xxxf2cos2sin)(，4，则)4(2cos)4(2sin)()(xxaxfxg=xx2sin2cos，∴xxxxxaxfxfxh4cos)2sin2)(cos2cos2(sin)()()(．例6设cbxaxxf23)(2，若0cba，0)1()0(ff，求证：（Ⅰ）方程0)(xf有实根，且12ab；（Ⅱ）设12,xx是方程()0fx的两个实根，则323321xx；（Ⅲ）方程0)(xf在（0，1）内有两个实根．解：（Ⅰ）若0a，则cb，0)23()1()0(2ccbacff，与已知矛盾，∴0a．方程232axbxc=0的判别式24(3),bac由条件0cba，消去b，得043)21(4)(42222ccaacca，故方程0)(xf有实根．由0)1()0(ff，得0)23(cbac，由条件0cba消去c，得0)2)((baba，故12ab．（Ⅱ）由条件知abxx3221，abaacxx3321，∴212212214)()(xxxxxx31)23(942ab。∵12ab，所以94)(31221xx，故323321xx．（Ⅲ）抛物线2()32fxaxbxc的顶点坐标为（),33,32abacab在12ab的两边乘以31，得31ab332，又因为f(0)0，f(1)＞0，而f(ab3)=0322aacca，所以方程()0fx在区间（与)3,0ab（)1,3ab内分别有一实根．故方程()0fx在(0,1)内有两个实根