高考数学专题09直线与圆热点难点突破理

1专题09直线与圆（热点难点突破）1．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2B．42C．6D．210【答案】C【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。－1＝0，所以a＝－1，从而A(－4，－1)，|AB|＝|AC|2－r2＝－4－2＋－1－2－4＝6.2．已知圆x2＋y2＋mx－14＝0与抛物线y＝14x2的准线相切，则m＝()A．±22B．±3C.2D.3【答案】B【解析】抛物线的准线为y＝－1，将圆化为标准方程得x＋m22＋y2＝1＋m24，圆心到准线的距离为1＝1＋m24⇒m＝±3.3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离最小值为()A.2B．22C．32D．424．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.2又因为光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，所以|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－43或k＝－34，故选D.5．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为()A．1B．3C.19D.496．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，点P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()A．35B．45C．57D．67【答案】D【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P垂直于直径的弦，所以|AC|＝2×3＝6.因为圆心到BD的距离为－2＋－2＝2，所以|BD|＝232－22＝27.则四边形ABCD的面积为S＝12×|AC|×|BD|＝12×6×27＝67.故选D.7．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()A.5B．5C．25D．10【答案】B【解析】由题意，知圆心M的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0.因为(a－2)2＋(b－2)2表示点(a，b)与(2,2)的距离的平方，而a－2＋b－2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.故选B.8．命题p：4＜r＜7，命题q：圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上恰好有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则p是q的()A．充分不必要条件3B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离等于5，所以圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上恰好有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1时，4＜r＜6，所以p是q的必要不充分条件．9．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有|OA→＋OB→|≥33|AB→|，则k的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[2，22)C．[2，＋∞)D．[3，22)【答案】B【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k|2＜2，由k＞0，得0＜k＜22.①如图，又由|OA→＋OB→|≥33|AB→|，得|OM|≥33|BM|⇒∠MBO≥π6，因|OB|＝2，所以|OM|≥1，故|k|1＋1≥1⇒k≥2.②综①②得2≤k＜22.10．已知直线x＋y－a＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是坐标原点，向量OA→，OB→满足|2OA→－3OB→|＝|2OA→＋3OB→|，则实数a的值为________.【答案】±2【解析】由|2OA→－3OB→|＝|2OA→＋3OB→|得OA→·OB→＝0，即OA⊥OB，则直线x＋y－a＝0过圆x2＋y2＝2与x轴，y轴正半轴或负半轴的交点，故a＝±2.11．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝04解析：直线x－2y＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D.答案：D12．已知点P的坐标(x，y)满足x＋y≤4y≥xx≥1，过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A、B两点，则|AB|的最小值是()A．26B．4C.6D．2解析：根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长，等价于求到圆心距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d＝1＋32＝10，此时|AB|min＝214－10＝4，故选B.答案：B13．已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为|a＋a－2|a2＋1.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以|a＋a－2|a2＋12＋12＝22，解得a＝4±15.答案：4±1515．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．解析：点P(－3,1)关于x轴对称的点为P′(－3，－1)，所以P′Q：x－(a＋3)y－a＝0，由题意得直线P′Q5与圆x2＋y2＝1相切，所以|－a|12＋[－a＋2＝1，解得a＝－53.答案：－5316．已知m0，n0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．解析：因为m0，n0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1.所以|m＋1＋n＋1－2|m＋2＋n＋2＝1，即|m＋n|＝m＋2＋n＋2.两边平方并整理，得mn＝m＋n＋1.由基本不等式mn≤m＋n22，可得m＋n＋1≤m＋n22，(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋22(当且仅当m＝n时取等号)．答案：[2＋22，＋∞)17．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．【答案】x2＋(y－1)2＝10【解析】设所求圆的半径为r，抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.18．已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)【解析】因为圆心为O(0,0)，半径R＝1.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO＝2R＝2，由题意知圆心O到直线y＝kx＋2的距离小于或等于PO＝2，即|2|1＋k2≤2，即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.19．设点P在直线y＝2x＋1上运动，过点P作圆(x－2)2＋y2＝1的切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值是________．6【答案】2【解析】圆心C(2,0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝5，所以|PA|＝|PC|2－1≥d2－1＝2.20．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【答案】18【解析】由题意得直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r＝2，即|1－2＋a|2＝|1－2＋b|2＝2⇒a2＋b2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18.21．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.[解](1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3).2分当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.由d＝|2k－3＋5－3k|k2＋1＝1，得k＝34.4分又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，5分故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.6分(2)直线OA的方程为y＝53x，即5x－3y＝0，8分点C到直线OA的距离为d＝|5×2－3×3|52＋32＝134.10分又|OA|＝32＋52＝34，∴S＝12|OA|d＝12.12分22．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．7[解](1)如图所示，|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，2分所以圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，所以|AD|＝23，|AC|＝4，C点坐标为(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：|－2k－6＋5|k2＋－2＝2，得k＝34.故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.4分直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.6分所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.7分(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即CD→·PD→＝0，所以(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.12分23．已知半径为2，圆心在直线y＝－x＋2上的圆C.(1)当圆C经过点A(2,2)，且与y轴相切时，求圆C的方程；(2)已知E(1,1)，F(1，－3)，若圆C上存在点Q，使|QF|2－|QE|2＝32，求圆心的横坐标a的取值范围．[解](1)∵圆心在直线y＝－x＋2上，半径为2，∴可设圆的方程为(x－a)2＋[y－(－a＋2)]2＝4，2分其圆心坐标为(a，－a＋2)．∵圆C经过点A(2,2)，且与y轴相切，∴有－a2＋[2－－a＋2＝4，|a|＝2，解得a＝2，4分8∴圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4.5分24．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H.(1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．:解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x