高考文科数学复习资料：直线与圆、圆与圆的位置关系-Word版含解析

课时作业A组——基础对点练1．圆心为(4,0)且与直线3x－y＝0相切的圆的方程为()A．(x－4)2＋y2＝1B．(x－4)2＋y2＝12C．(x－4)2＋y2＝6D．(x＋4)2＋y2＝9解析：由题意，知圆的半径为圆心到直线3x－y＝0的距离，即r＝|3×4－0|3＋1＝23，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x－4)2＋y2＝12，故选B.答案：B2．(2018·石家庄质检)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为23，则t＝a1＋2b2取得最大值时a的值为()A.12B.32C.34D.34解析：因为圆心到直线的距离d＝24a2＋b2，则直线被圆截得的弦长L＝2r2－d2＝24－44a2＋b2＝23，所以4a2＋b2＝4.t＝a1＋2b2＝122·(22a)1＋2b2≤122·12·[(22a)2＋(1＋2b2)2]＝142[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝942，当且仅当8a2＝1＋2b24a2＋b2＝4时等号成立，此时a＝34，故选D.答案：D3．(2018·惠州模拟)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为()A．22B.2C．－2或2D．－22或22解析：因为圆上到直线l的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l的距离d＝1，即d＝|－a|2＝1，解得a＝±2.故选C.答案：C4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：已知圆的圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r2－d2＝222－3552＝2555.答案：25555．已知m0，n0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．解析：因为m0，n0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离d＝|m＋1＋n＋1－2|m＋12＋n＋12＝1，即|m＋n|＝m＋12＋n＋12，两边平方并整理得，m＋n＋1＝mn≤(m＋n2)2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋22，所以m＋n的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞)6．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．解析：两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0配方得，(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，依题意得两圆相外切，故a2＋4b2＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，1a2＋1b2＝(a29＋4b29)(1a2＋1b2)＝19＋a29b2＋4b29a2＋49≥59＋2a29b2×4b29a2＝1，当且仅当a29b2＝4b29a2，即a2＝2b2时等号成立，故1a2＋1b2的最小值为1.答案：17．已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在的直线方程为x＋y－2＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．(1)求矩形ABCD的外接圆方程；(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆相交，并求最短弦长．解析：(1)依题意得AB⊥AD，∵kAB＝－1，∴kAD＝1，∴直线AD的方程为y－1＝x＋1，即y＝x＋2.解x＋y－2＝0，x－y＋2＝0，得x＝0，y＝2，即A(0,2)．矩形ABCD的外接圆是以P(2,0)为圆心，|AP|＝22为半径的圆，方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)直线l的方程可整理为(x＋y－5)＋k(y－2x＋4)＝0，k∈R，∴x＋y－5＝0，y－2x＋4＝0，解得x＝3，y＝2，∴直线l过定点M(3,2)．又∵点M(3,2)在圆内，∴直线l与圆相交．∵圆心P与定点M的距离d＝5，最短弦长为28－5＝23.8．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含．解析：对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果圆C1与圆C2外切，则有m＋12＋－2－m2＝3＋2，(m＋1)2＋(－2－m)2＝25，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则有m＋12＋－2－m23－2.(m＋1)2＋(－2－m)21，m2＋3m＋20，解得－2m－1，所以当－2m－1时，圆C1与圆C2内含．B组——能力提升练1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a－0＋1|12＋－12≤2，化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案：C2．已知⊙M的圆心在抛物线x2＝4y上，且⊙M与y轴及抛物线的准线都相切，则⊙M的方程是()A．x2＋y2±4x－2y＋1＝0B．x2＋y2±4x－2y－1＝0C．x2＋y2±4x－2y＋4＝0D．x2＋y2±4x－2y－4＝0解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，设圆心M的坐标为(x0，y0)(y00)，则|x0|＝y0＋1，又x20＝4y0，所以联立|x0|＝y0＋1，x20＝4y0，解得x0＝±2，y0＝1，因此圆M的方程为(x±2)2＋(y－1)2＝22，展开整理得x2＋y2±4x－2y＋1＝0，故选A.答案：A3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．答案：B4．直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b＋ab的最大值为()A．1B．－1C.2＋12D.2＋1解析：∵直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＋1＝0的距离等于半径，即1a2＋b2＝1⇒a2＋b2＝1，易知a＋b＋ab的最大值一定在a0，b0时取得，∴a＋b＋ab＝a＋b2＋ab＝1＋2ab＋ab.令1＋2ab＝t，则ab＝t2－12.∵ab≤a2＋b22＝12(当且仅当a＝b＝22时取“＝”)且ab0，∴1t≤2，∴a＋b＋ab＝1＋2ab＋ab＝12t2＋t－12＝12(t＋1)2－1，∴当t＝2时，(a＋b＋ab)max＝2＋12.故选C.答案：C5．(2018·云南五市联考)设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为d.当d最小时，圆C的面积为________．解析：设圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，知圆C截x轴所得的弦长为2r，故r2＝2b2，又圆C截y轴所得的弦长为2，所以r2＝a2＋1，从而得2b2－a2＝1.又点C(a，b)到直线x－2y＝0的距离d＝|a－2b|5，所以5d2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1，当且仅当a＝b2b2－a2＝1，即a2＝b2＝1时等号成立，此时d取得最小值，此时r2＝2，圆C的面积为2π.答案：2π6．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解析：(1)由D2＋E2－4F0得(－2)2＋(－4)2－4m0，解得m5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，∴y1＋y2＝165，y1y2＝8＋m5.∵OM⊥ON，∴y1x1·y2x2＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.∵x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，∴x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×165＋16＝0，解得m＝85.(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝12(x1＋x2)＝45，b＝12(y1＋y2)＝85，半径r＝|OC|＝455，∴所求圆的方程为x－452＋y－852＝165.7．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP||QM|＝Rr1，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)，由l与圆M相切得|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24.当k＝24时，将y＝24x＋2代入x24＋y23＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝－4±627.所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝187.当k＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.