高中数学必修2第三章知识点及练习题

第1页共5页第三章直线与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母k表示,也就是k=tanα。①当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;②当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.当90,0时，0k，k随着α的增大而增大；当180,90时，0k，k随着α的增大而增大；当90时，k不存在。由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.⑵过两点),(),(222111yxPyxP、的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与21PP、的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）①直线的点斜式方程：)(00xxkyy，k为直线的斜率，且过点00,yx，适用条件是不垂直x轴。注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是0yy。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x=x0。②斜截式：bkxy，k为直线的斜率，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx④截矩式：1xyab，其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：①在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。②各式的适用范围③特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数），所以平行于已知直线0000CyBxA的直线方程可设：000,0CCCyBxA垂直于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线方程可设：000CyAxB（C为常数）（2）过定点的直线系①斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx；②过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。6、两直线平行与垂直（1）当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（2）当0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl时，0B0//1221122121CBCBABAll且；0212121BBAAll例：设直线1l经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线2l经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当(1)1l//2l(2)1l⊥2l时，分别求出m的值7、两条直线的交点当0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交时，第2页共5页交点坐标是方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合。8.中点坐标公式：已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则线段的中点M坐标为(221xx，221yy)例：已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。9、两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy10、点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:CByAxl的距离为2200BACByAxd11、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。（2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则1l与2l的距离为2221BACCd一、选择题1．若直线x＝1的倾斜角为，则()．A．等于0B．等于C．等于2D．不存在2．图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k23．已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝()．A．2B．－2C．4D．14．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()．A．3B．32C．4D．435．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()．A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0D．2x＋y－7＝07．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()．A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0D．3x＋19y＝08．直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()．A．3B．－3C．1D．－19．将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，此时直线l'与l重合，则直线l'的斜率为()．A．1＋aaB．1＋－aaC．aa1＋D．aa1＋－10．点(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是()．A．(－6，8)B．(－8，－6)C．(6，8)D．(－6，－8)二、填空题11．已知直线l1的倾斜角1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为．12．若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(21，m)共线，则m的值为．(第2题)第3页共5页13．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为．14．求直线3x＋ay＝1的斜率．15．已知点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，则P点坐标为．16．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是．17．若一束光线沿着直线x－2y＋5＝0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直线的方程是．三、解答题18．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根据下列条件分别求m的值：①l在x轴上的截距是－3；②斜率为1．19．已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的41．求直线l的方程．20．一直线被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．.21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．(第19题)第4页共5页第三章直线与方程参考答案A组一、选择题1．C解析：直线x＝1垂直于x轴，其倾斜角为90°．2．D解析：直线l1的倾斜角1是钝角，故k1＜0；直线l2与l3的倾斜角2，3均为锐角且2＞3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D．3．A解析：因为直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，所以直线l1的倾斜角为2，而l1∥l2，所以，直线l2的倾斜角也为2，又直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，所以，x＝2．4．C解析：因为直线MN的斜率为1－＝2－3－3＋2，而已知直线l与直线MN垂直，所以直线l的斜率为1，故直线l的倾斜角是4．5．C解析：直线Ax＋By＋C＝0的斜率k＝BA＜0，在y轴上的截距BCD＝－＞0，所以，直线不通过第三象限．6．A解析：由已知得点A(－1，0)，P(2，3)，B(5，0)，可得直线PB的方程是x＋y－5＝0．7．D8．D9．B解析:结合图形，若直线l先沿y轴的负方向平移，再沿x轴正方向平移后，所得直线与l重合，这说明直线l和l’的斜率均为负，倾斜角是钝角．设l’的倾斜角为，则tan＝1＋－aa．10．D解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线5x＋4y＋21＝0是点A(4，0)与所求点A'(x，y)连线的中垂线，列出关于x，y的两个方程求解．二、填空题11．－1．解析：设直线l2的倾斜角为2，则由题意知：180°－2＋15°＝60°，2＝135°，∴k2＝tan2＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1．12．21．解：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，2＋213－＝2＋33－2－m．解得m＝21．13．(2，3)．解析：设第四个顶点D的坐标为(x，y)，∵AD⊥CD，AD∥BC，∴kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC．∴0－1－xy·3－2－xy＝－1，0－1－xy＝1．解得1＝0＝yx(舍去)3＝2＝yx所以，第四个顶点D的坐标为(2，3)．(第11题)第5页共5页14．－a3或不存在．解析：若a＝0时，倾角90°，无斜率．若a≠0时，y＝－a3x＋a1∴直线的斜率为－a3．15．P(2，2).解析：设所求点P(x，2)，依题意：22)12()2(x＝22)22()1(x，解得x＝2，故所求P点的坐标为(2，2)．16．10x＋15y－36＝0．解析：设所求的直线的方程为2x＋3y＋c＝0，横截距为－2c，纵截距为－3c，进而得c=－536．17．x＋2y＋5＝0．解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x轴对称，故将直线方程中的y换成－y．三、解答题18．①m＝－35；②m＝34．解析：①由题意，得32622mmm＝－3，且m2－2m－3≠0．解得m＝－35．②由题意，得123222mmmm＝－1，且2m2＋m－1≠0．解得m＝34．19．x－2y＋5＝0．解析：由已知，直线AB的斜率k＝1311＝21．因为EF∥AB，所以直线EF的斜率为21．因为△CEF的面积是△CAB面积的41，所以E是CA的中点．点E的坐标是(0，25)．直线EF的方程是y－25＝21x，即x－2y＋5＝0．20．x＋6y＝0．解析：设所求直线与l1，l2的交点分别是A，B，设A(x0，y0)，则B点坐标为(－x0，－y0)．因为A，B分别在l1，l2上，所以0＝6－5＋3－0＝6＋＋40000yxyx①＋②得：x0＋6y0＝0，即点A在直线x＋6y＝0上，又直线x＋6y＝0过原点，所以直线l的方程为x＋6y＝0．21．2x＋y－4＝0和x＋y－3＝0．解析：设直线l的横截距为