高中数学集合总结+题型分类+完美解析

集合【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“”、不属于“”.3.集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集个数=n2；真子集个数=12n.5.交集：BxAxxBA且|并集：BxAxxBA或|补集：AxUxxACU且|6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1定义&性质】1.下列命题中正确的个数是（）①方程022yx的解集为2,2②集合Rxxyy,1|2与Rxxyy,1|的公共元素所组成的集合是1,0③集合01|xx与集合Raaxx,|没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x的值所构成的集合，而是x和y的值的集合，也就是一个点.答案：A详解：在①中方程022yx等价于0202yx，即22yx。因此解集应为2,2，错误；在②中，由于集合Rxxyy,1|2的元素是y，所以当Rx时，112xy.同理，Rxxyy,1|中Ry，错误；在③中，集合01|xx即1x，而Raaxx,|，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选A.2.下列命题中，（1）如果集合A是集合B的真子集，则集合B中至少有一个元素；（2）如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素少于集合B的元素；（3）如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素不多于集合B的元素；（4）如果集合A是集合B的子集，则集合A和B不可能相等．错误的命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合M是集合N的子集，那么M中的元素个数要小于或等于N中元素的个数；如果集合M是集合N的真子集，那么M中的元素个数要小于N中元素的个数.答案：C详解：（1）如果集合A是集合B的真子集，则集合B中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素少于或等于集合的B元素，故（2）不正确；（3）如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素不多于集合B的元素，故（3）正确；（4）如果集合A是集合B的子集，则集合A和B可能相等，故（4）不正确．故选C．3.设P、Q为两个非空实数集，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合QP中的元素是ba，其中Pa,Qb，则QP中元素的个数是（）A.9B.8C.7D.6分析：因为Pa，Qb，所以QP中的元素ba是P中的元素和Q中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案：B详解：当0a时，b依次取1,2,6，得ba的值分别为1,2,6；当2a时，b依次取1,2,6，得ba的值分别3,4,8；当5a时，b依次取1,2,6，得ba的值分别6,7,11；由集合的互异性得QP中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个，故选B.4.设数集M同时满足条件①M中不含元素1,0,1，②若Ma，则Maa11.则下列结论正确的是()A．集合M中至多有2个元素；B．集合M中至多有3个元素；C．集合M中有且仅有4个元素；D．集合M中有无穷多个元素.分析：已知Ma时，Maa11.那么我们可以根据条件多求出几个M集合的元素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：C详解：由题意，若Ma，则Maa11，则Maaaaa1111111，Maaaa111111，则Maaaaaa22111111，若aaa11，则12a，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M中有且仅有4个元素．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No2.表达方式】5.下列集合表示空集的是（）A.55|xRxB.55|xRxC.0|2xRxD.01|2xxRx分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D详解：012xx，031141方程无实数解，故选D.6.用描述法表示下列集合：(1)8,6,4,2,0；(2),81,27,9,3；(3),87,65,43,21；(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的范围详解：(1)是偶数且xxNx,100|；(2)Nnnxx,3|；(3)Nnnnxx,212|；(4)Znnxx,25|．======================================================================题型二、不含参数⑴⑴中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分，，的区别；②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③BAABAABABA两方面讨论和从BABA.【No.1判断元素/集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①00；②00；③；④aa；⑤0；⑥0；⑦0；⑧0其中正确的是（）A.②③④⑧B.①②④⑤C.②③④⑥D.②③④⑦分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：--“属于”，用于表示元素和集合的关系；，--“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A详解：①错误，应为00；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为0；2.若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若UBCACBAUU则,（2）若BCACUBAUU则,（3）若BABA，则A．0个B．1个C．2个D．3个分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（1）UCBACBCACUUUU；（2）UCBACBCACUUUU；（3）证明：∵BAA,即A，而A，∴A；同理B，∴BA；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2子集、真子集】3.从集合dcbaU,,,的子集中选出4个不同的子集，须同时满足以下两个条件：①，U都要选出；②对选出的任意两个子集A和B，必有BA或AB.那么共有种不同的选法.分析：由①可以知道选出的子集中一定有和U，我们要求得只剩两个集合。根据②（以BA为例）可以从讨论A中有1个或2个元素有几种选法来确定B的选法.注意A中不可能有3种元素，因为这样B中会出现U和A中的元素，与题意和性质不符.答案：36详解：由题意知，集合必有子集和U，只需考虑另外两个集合如果A中含有一个元素，有4种选法，相应的，B集合中有6中选法，共24种；如果A中含有两个元素，有6种选法，相应的，B集合中有2中选法，共12种；即总共有36种选择。4.已知集合032|2xxxA，那么满足AB的集合B有（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：本题求的是A集合的子集个数答案：D详解：根据题意，0322xx，则1x或3，则集合3,1A，其中有2个元素，则其子集有422个，满足AB的集合B有4个，故选D．5.若集合BA，CA，且4,2,0CB．则满足条件的集合A的个数为（）A．3个B．4个C．7个D．8个分析：集合BA，CA，说明A同时是两个集合的子集.答案：D详解：根据题意，集合BA，CA，且4,2,0CB．即A为4,2,0的子集，而4,2,0中有3个元素，共有823个子集；即满足条件的A的个数为8；故选D．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.3集合间的运算】6．设全集RyxyxU,|,,集合122|,xyyxM，4|,xyyxN,那么NCMCUU等于________________.分析：首先要注意本题要求的是点集，M集合的含义是不含有2,2的直线上的点集，MCU表示的就是2,2；NCU表示4xy.答案：2,2详解：24:xxyM，M代表直线4xy上，但是挖掉点2,2，MCU代表直线4xy外，但是包含点2,2；N代表直线4xy外，NCU代表直线4xy上，∴2,2NCMCUU.7.已知06|2pxxxM，06|2qxxxN，则2NM,则qp（）A.21B.8C.6D.7分析：从2NM入手得，2既是M的元素又是N的元素，那么代入便可以求出p和q的值.答案：A详解：由已知得，NM2,2所以2是方程062pxx和062qxx的根，故将2代入得，5p；16,0qq.所以21qp.8.已知方程02cbxx有两个不相等的实根1x，2x.设21,xxC，9,7,5,3,1A，10,7,4,1B，若CBCCA,，试求b，c的值。分析：对CBCCA,的含义的理解是本题的关键，BCCBC；详解：由BCCBC，那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。又因为CA，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是10,4C因此，1421xxb，4021xxc.======================================================================题型三、集合含参解决此类型题应注意：①遇到子集需从和不是两方面讨论，如BABA或.②会解各种类型的不等式.③如果方程中的最高次项系数含有参数，要记得对参数是否为0进行讨论.【No.1集合vs.集合】1.设aU1,4,2，2,22aaA，若1ACU,则a的值为（）A.1B.2C.3D.4分析：因为1ACU，所以U中必含元素1，A中必不含元素1.答案：B详解：因为1ACU，所以a11，解得2a.2a时，422aa，满足1ACU．所以实数a的值为2．242aa022aa2a或1a2a代入1ACS成立同理1a代入无解，故舍去.综上2a2.已知集合11log|2xxA，集合RbabaxxxB,,0|2（1）若BA，求ba,的值；（2）若3b，且ABA，求a的取值范围．分析：（1）中BA得出A和B中不等式的解相同，那我们算出集合A的解集，再由韦达定理求出ba,即可；（2）由ABA可得AB．题目中只要看到类似AB这种子集问题，必