高中数学立体几何专题

1高考数学——立体几何大题解题技术【温馨提示】总观历年各地高考立体几何大题，主要考察集中在线线关系（垂直、平行和异面角）、线面关系（垂直、平行、线面角）、面面关系（垂直、平行、二面角）以及棱锥体积这四个方面。考察重点：线面垂直、线面平行及角量、二面角量、棱锥体积【解题思路点拨】线线关系：（1）证明线线垂直：同面垂直：勾股定理、等腰三线合一等异面垂直：线面垂直关系（2）证明线线平行：通过中介（公共平行线）传递（多用中位线定理）。（3）求异面直线角：通过平行移动，对接至某一三角形中，解三角形。线面关系：（1）证明线面垂直：判定线面垂直5思路：=0线线垂直（两组）（与平面内相交的直线分别垂直）[垂直骨架]内涵元素面面垂直（一面内的直线垂直互垂平面的交线则直线垂直另一平面）（线传递）一对平行直线，一条直线垂直一平面，另外一条直线也垂直平行传递外延中介（面传递）一对平行平面，一平面与一直线垂直，另一平面也与线垂直面面垂直（两组）一面平与两个相交的平面都垂直，则此平面与两平面交线垂直空间向量法：直线向量与平面法向量点积判定线面垂直五思路2主干思路有二：①两组线线垂直关系。两组线线垂直关系：同面和异面。②面面垂直的棱垂直。垂直平面内的直线垂直公共棱。（2011全国20）（1）找到AB中点H（因为SAB是等边三角形，找到中点就会出现垂直关系），然后分别连接SH和DH，则出现了一个线面垂直：SDHAB面SDAB,找到了一个垂直关系；然后再通过勾股定理计算90HSD，找到另外一个垂直关系，即可得证。（2011福建20）（1）先由线面垂直ABCDPA面CEPA,找到了一组垂直关系；再由ADCEABCEADAB//,又找到一组垂直关系。得证。（2011天津17）（2）由DAPOABCDPO找到一组垂直关系；再由底面几何关系推出ACDA找到另一组垂直关系，得证。（2011辽宁18）（1）由PQCDADPQCD找到一组垂直关系；再由底面几何关系推出DQPQ找到另一组垂直关系：得证。（2011湖南19）（1）同理。（2）证明线面平行：判定线面平行双思路：线线平行线面平行：内涵角度面面平行线面平行：外延角度（2011北京17）（1）由BCPDEGFDE面////(2011山东19）（2）图中没有现成的平行线，所以得添加辅助线，连接OAOBDACCA111,(同时连接）交与和,OA1就是新平面与目标平面的交线，从图中判断，只要证明OACC11//即可。（2011江苏16）（1）题中已经给出PDEF//的平行关系，直接用之即3可。（2011天津17）（1）题中图中没有可用的现成平行关系，对角连接BD和MO，则证明MOPB//即可。（2011四川19）（1）题中已然给出了辅助线DO（1BAO为中点），但还需连接AB1，只要证明DOPB//1即可。（3）求线面角：找到或作出斜线在目标面上的投影（线面垂直），一般是通过“作面面垂直公共线垂直的手法”作出。如果不方便直接作出，则可以通过平行关系转移到方便作投影的位置进行投影（如2011全国20题）则投影直角三角形的某个锐角（斜线与投影夹角）即为线面角，转换为了解直角三角形问题。（2011全国20）（2）图中不能直接作出AB在目标平面SBC上的投影，所以思考通过平行移动AB来作出其在目标平面SBC上的投影，同时考虑到作投影是一种线面垂直关系，一般是通过”作面面垂直公共线垂直的手法”作出，所以本题就先作出ABOGOOABCDSO//作，再过于，然后由线面角定义可知，所成的线面角。与平面即为SBCABSGO（2011天津17）（3）题中已经存在一个面面垂直关系：ABCDPDB，的投影关系线的手法作出线面垂直，所以可通过垂直公共点又在这个垂直平面上M，EDOME于，则即为所求线面角MAE。（2011湖南19）（2）观察题中图形，已经存在一个面面垂直关系：PACPDO,则通过O作两垂直面公共线的垂线即可作出投影关系（线面垂直），即为所求线面角。，则于作过OECEPDOEO4面面关系：面面垂直证明面面垂直四思路：=90=0。线面垂直面面垂直（过垂直平面的直线的平面垂直平面）中介传递：一对平行面，一面如果垂直某一平面，则另一面也垂直二面角的平面角空间向量法：两平面法向量垂直即点积（2011江苏16）（2）观察图形，可以先证明PADBEFBFBEFPADBF，推出面面垂直过，然后一个线面垂直.（2011陕西16）（1）存在一个线面垂直关系ADADBBDCAD过直线又,ADCADB，所以推出面面垂直.求二面角三种思路方法：一是通过三垂线定理作出二面角的平面角；二是直接作出公共棱的同点垂线找出二面角的平面角；三是通过垂直关系下的面积比算出其余弦值。（2011浙江20）（2）观察题图，图形呈现两边对称的特点，所以可以采用第二种思路，直接做公共棱的同点垂线找到二面角的平面角。具体过程为为所求二面角的平面角，则，连接于作过BHCCHHPABHB，解三角形即可。（2011湖北18）（2）观察题图，发现1EFCCF,可用面积比求二面角的余弦值，即11)cos(1ECCEFCSSCCFE另外：此图中还存在现成的平面角CEF,ECCEECFE11且因为.5(2011重庆20）（2）题中存在一个面面垂直，则可通过做公共线的平面垂线作出线面垂直，即ABCDEFABEFEACDED，则于，于作过,为所求二面角的平面角DFE，解三角形即可。（2011四川19）（2）题中已经存在线面垂直11CACABA,过A作DA1的垂线角。即为所求二面角的平面，则连接AEBBEAE,面面平行判定面面平行四思路：线线平行两平面内的相交直线互平行面面平行（内涵角度：抓骨架）线面平行一面内的相交直线都平行面垂直同线面面平行（外延角度：找中介）：中介传递平行同面考的不多，作为了解即可。棱锥体积：求棱锥体积的关键是作出立体高来，一般是通过线面垂直作出，有两种方式：一是垂直的面面公共线的垂线手法，二是两组垂直关系的线面垂直。（2011课标18）（2）题中所求其实是的垂线长，即线面垂直到面点PBCD观察图中有没有面面垂直，发现存在面面垂直关系PBCPBD，那么可以通过作公共线的垂线作出线面垂直而达到目的，即即是所求的立体高中的高则平面三角形作过DEPBDPBDED,。（2011福建20）（2）观察题图：已经存在了线面垂直ABCDPA底面，那么直接应用即可。（2011安徽19）（2）观察题图：存在一组面面垂直关系ACFDABED,6那么可通过作垂直面的公共线的垂线作出线面垂直的立体高，具体为：。就是所求锥体的立体高则作过FKADFKF,（2011辽宁18）（2）通过观察可知，题中所涉两个锥体的立体高（线面垂直关系）都已经存在，那么可以直接利用之。（2011重庆20）（1）题图中存在一组面面垂直关系ABCACD,那么可以通过作垂直面面公共线的垂线达到作出立体高（线面垂直）效果，即体高。即为所求锥体体积的立，则作过ACACDED总结：通过以上分析，线面垂直是立体几何高考中的重中之重，线面垂直可以推出线线垂直和面面垂直和立体高，线面垂直同时也能找到线面角和二面角。另外，证明或作线面垂直关系的思路有两种：（1）两组垂直关系；（2）通过与垂直面面公共线的垂线实现。