高中数学人教版必修4第三章-3.1.2

版块导航人教A版必修四·新课标·数学版块导航人教A版必修四·新课标·数学3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式版块导航人教A版必修四·新课标·数学目标要求1.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.目标定位版块导航人教A版必修四·新课标·数学热点提示在考试中突出考查基础知识及灵活运用基础知识解决问题的能力，不仅要善于公式的正向应用，还要习惯于公式的逆用和变形应用，要把公式看活、变活、用活．如本部分内容中的tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ的正用、逆用、各种变形的应用，历年高考试题中考查它的次数远远高于对其他公式的考查，应引起足够的重视.版块导航人教A版必修四·新课标·数学点此进入点此进入点此进入版块导航人教A版必修四·新课标·数学版块导航人教A版必修四·新课标·数学1．两角差的余弦公式Cα－β：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.2．两角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.3．两角和的正弦公式Sα＋β：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.4．两角差的正弦公式Sα－β：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.知识预览版块导航人教A版必修四·新课标·数学5．两角和的正切公式Tα＋β：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，它成立的条件是：α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)．6．两角差的正切公式Tα－β：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ，它成立的条件是：α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)．7．tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα，tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα.版块导航人教A版必修四·新课标·数学8．注意掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系．版块导航人教A版必修四·新课标·数学1．sin21°cos39°＋cos21°sin39°等于()A.22B.12C.32D．1自测自评答案：C版块导航人教A版必修四·新课标·数学2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于()A．2B．1C.12D．43.tan75°－tan15°1＋tan75°·tan15°＝________.答案：C答案：3版块导航人教A版必修四·新课标·数学4．化简：cos(π3＋α)＋sin(π6＋α)＝________.解析：原式＝cosπ3cosα－sinπ3sinα＋sinπ6cosα＋cosπ6sinα＝cosα.答案：cosα版块导航人教A版必修四·新课标·数学5．已知α为锐角，sinα＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45.求sin(α＋β)的值．解：∵α为锐角，sinα＝35，∴cosα＝45，∵cos(π＋β)＝－45，∴cosβ＝45.又β为第四象限角，∴sinβ＝－35.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝35×45＋45×(－35)＝0.版块导航人教A版必修四·新课标·数学版块导航人教A版必修四·新课标·数学公式的直接运用与变形应用【例1】求下列各题的值．(1)cos(x＋29°)cos(x－16°)＋sin(x＋29°)sin(x－16°)；解：原式＝cos[(x＋29°)－(x－16°)]＝cos45°＝22.版块导航人教A版必修四·新课标·数学(2)tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°.解：∵tan12°＋tan33°1－tan12°·tan33°＝tan(12°＋33°)＝tan45°＝1，∴tan12°＋tan33°＝1－tan12°·tan33°.∴tan12°＋tan33°＋tan12°·tan33°＝1－tan12°tan33°＋tan12°tan33°＝1.版块导航人教A版必修四·新课标·数学规律归纳解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]2sin280°＝[2sin50°＋sin10°(1＋3sin10°cos10°)]2cos210°＝[2sin50°＋sin10°(cos10°＋3sin10°cos10°)]2cos210°＝(2sin50°＋2sin10°cos50°cos10°)2cos10°＝22(sin50°cos10°＋sin10°cos50°)＝22sin60°＝6.1.化简：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]2sin280°.版块导航人教A版必修四·新课标·数学给值求值【例2】已知π2βα34π，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α的值．思路分析：根据换元的思想，本题应注意变角技巧，即2α＝(α＋β)＋(α－β)．因此，求cos2α的值，只需根据两角和的余弦公式的结构特征，根据已知条件进一步求出sin(α－β)，cos(α＋β)的值即可．但要注意α，β的范围，以便确定sin(α－β)，cos(α＋β)的取值符号．版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：∵π2βα34π，∴－34π－β－π2，∴0α－βπ4，πα＋β32π，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－－352＝－45.∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×(－45)－513×(－35)＝－3365，即cos2α＝－3365.版块导航人教A版必修四·新课标·数学温馨提示：将题设中的α＋β，α－β看作一个整体，注意角与角之间的联系：2α＝α＋β＋α－β.同时注意变换、整体思想在解题中的应用.版块导航人教A版必修四·新课标·数学规律归纳给值求值的关键是找已知式与待求式之间角、运算及函数的差异，常见角的变换为α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，(π4＋α)＋(π4＋β)＝π2＋(α＋β)，(π4＋α)＋(π4－β)＝π2＋(α－β)等．此外，在给值求值的问题中要特别注意隐含条件．版块导航人教A版必修四·新课标·数学2已知cos(α－β)＝35，sinβ＝－513，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，则sinα等于()A.3365B.6365C．－3365D．－6365版块导航人教A版必修四·新课标·数学解析：由于α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，则0α－βπ.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝45.又sinβ＝－513，β∈(－π2，0)，则cosβ＝1－sin2β＝1213.则sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝3365.答案：A版块导航人教A版必修四·新课标·数学给值求角【例3】如右图在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．版块导航人教A版必修四·新课标·数学思路分析：由题目可获取以下主要信息：①由任意角三角函数的定义可求cosα、cosβ；②α＋2β＝(α＋β)＋β.解答本题可先由任意角三角函数定义求cosα、cosβ，再求sinα、sinβ，从而求出tanα、tanβ，然后利用公式T(α＋β)，求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)得到α＋2β的值．版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：由条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.版块导航人教A版必修四·新课标·数学(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋βtanβ＝－3＋121－－3×12＝－1.又∵α，β为锐角，∴0α＋2β3π2，∴α＋2β＝3π4.版块导航人教A版必修四·新课标·数学温馨提示：此类问题的解答首先要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝α＋β＋β等.版块导航人教A版必修四·新课标·数学规律归纳此类题是给值求角题，步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：∵α和β均为钝角，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，cosβ＝－1－sin2β＝－31010.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－255×(－31010)－55×1010＝22.由α和β均为钝角，得πα＋β2π，∴α＋β＝7π4.3.已知sinα＝55，sinβ＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值．版块导航人教A版必修四·新课标·数学三角函数的综合应用【例4】已知tanα＝－13，cosβ＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．思路分析：(1)可由已知利用同角三角函数的基本关系式求得tanβ，然后再用两角和的正切公式求得tan(α＋β)的值；(2)中可以通过将f(x)的表达式化简为一个角的一种三角函数的形式来解．版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：(1)由cosβ＝55，β∈(0，π)，得sinβ＝255，tanβ＝2，于是tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21－－13×2＝1.版块导航人教A版必修四·新课标·数学(2)因为tanα＝－13，α∈(0，π)，所以sinα＝1010，cosα＝－31010，f(x)＝2(sinxcosα－cosxsinα)＋(cosxcosβ－sinxsinβ)＝－355sinx－55cosx＋55cosx－255sinx＝－5sinx.故f(x)的最大值为5.版块导航人教A版必修四·新课标·数学温馨提示：依据和差角的正弦公式和余弦公式，我们可以将含有同角的正弦、余弦的两项之和化为同一个角的三角函数，根据正、余弦函数的性质来研究该函数的性质，尤其是利用正、余弦函数的有界性确定该函数的最值，是高考的热点.版块导航人教A版必修四·新课标·数学规律归纳由于差角的余弦公式是由向量的数量积推导而得的，而三角变换的作用是研究三角函数的性质，因此以三角变换为载体考查三角函数的图象和性质，或以向量的坐标表示为载体考查三角变换公式，都是高考常见的题型．4(2010·安徽高考)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.求角A的值．版块导航人教A版必修四·新课标·数学解：因为sin2A＝(32cosB＋12sinB)(32cosB－12sinB)＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sinA＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.版块导航人教A版必修四·新课标·数学1．公式记忆(1)理顺公式间的逻辑关系(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符