高中数学题型表格(导函数工具)

1导数工具题型库（1）切线问题知识精髓求导代入得斜率；00'()xxfxk定位切点横和纵：00(,())xfx点斜代入切方程：000()'()()yfxfxxx切点处导函数值=切线斜率：00'()xxfxk切点同在切和曲：0000'();()yfxyfx切线方程点斜式：000'()()yyfxxx主干题型思维路径固定型及参数型函数求某点处的切线方程T1(CQ)***已知函数1()ln(1)2xfxxx，求曲线在点(0,(0))f处的切线方程？T2（QG）****：函数32()3(36)124fxxaxaxa，证明：曲线()yfx在0x处的切线过点（2,2）。参数型函数中切线反演参数值T1(SD)****函数lnxxke，曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与x轴平行，求参数k？T2(BJ)****函数231(0),()yaxagxxbx，若曲线()()yfxygx与在它们交点(1,)c处具有公共切线，求,ab值？T3(NXM)****函数曲线21()ln2fxxax在x=2处的切线方程为yxb，求,ab利用“三个点”列出参数方程，求之即可。抽象表达下的解析式确定T1(KB)****121()'(1)(0)2xfxfefxx,求函数解析式？T1：题中解析式中含有两个参数，分别建立'(1)(0)ff和的方程即可对称曲线间最小距离问题T(KB)*****设点P在曲线12xye上，Q点在曲线ln(2)yx上，则PQ的最小值是？TYS****：函数1()(0)fxxxx与1()(0)gxxxx间点距离最短是多少？T:题中两曲线关于y=x对称，从图象特征分析，当两曲线的切线平行时，切点间距离是所有两点距离中最短的。2导数工具题型库（2）导数研究单调和极值知识精华导函数只与0比较（根据这一点：灵活变换原函数或导函数解析式结构（放缩，分解））不等关系化函数值域（构造新函数）导函数也是函数，有时需要对导函数继续求导研究其特性，目的找出与0关系主干题型思维路径固定型函数单调性研究T1(SD12WL)****分析函数ln1()xxfxe的单调性？T2（KB12）****函数121()'(1)(0)2xfxfefxx，求解析式。T1：211(ln1)ln111'()(1ln)xxxxxeexxxxfxxeeex=1()xgxe导函数只与0比较，因为10xe，则导函数'()fx与其因子函数()gx正负一致，到此集中精力分析()0gx与的关系。有两个处理方式：①函数差关系；②整体对待。①函数差关系：1()1hxx与()lnpxx的差关系，作图如下：（0,1）上()gx()()hxpx0(1,)上()gx()()hxpx0②整体函数：找'()gx22111xxxx因为0x，所以'()0gx，()gx单减(1)0(0,1)()0,(0,)()0ggxgx上上，结论同上。T2：求导1'()'(1)(0)xfxfefx，代入1x得：'(1)'(1)(0)1fff(0)1f；11(0)'(1)'(1)ffefe；所以21()2xfxexx3函数单调区间讨论T（KB12W）****讨论函数()2xfxeax的单调区间SL:aexfx)('，导函数形式是指数函数纵向平移形式，因此要讨论上下平移的情形。（000aaa及和）给定一个参数范围和自变量范围，求另外一个参数的范围（根据参数和x的表达，灵活定位主配角）T、xaxfln)(，若不等式xmxf)(对所有的,0[a]23，],1(2ex都成立，求实数m的取值范围？SL：xmxf)(mxxaxmxalnln，观察不等式左边形式，含有两个变量xa和，因为题中这两个变量的范围都已给定，因此谁做自变量谁做参数可以有两种方案，至于选哪一种，就看所对应的函数结构形式了，若a作为自变量，则关于a的解析结构就是一次函数形式，反之则是对数与一次函数的差关系，显然是一次形式比较好处理，因此可以看作a的函数形式：xxaahln)(，因为],1(2ex，因此斜率0lnx，所以单增，)(ah所以xxhahhxln23)23()()0(，也就是)(ah的最小值xhah)0()(min，再由xahmmxxa)(lnmin，而根据题目条件可知：12xe，所以2em导函数是或可化为含参二次函数形式T1（JX11）****axxxxf22131)(23；（1）若)(xf在),32(上存在单调增区间，求a范围？（2）当316-]4,1[)(20上的最小值是在时，xfa，求)(xf在该区间上的最大值。SL：（1）求导：axxxf2)(2',题中的“在),32(上存在单调增区间”等价于导函数在此区间上有0的部分，分析导函数结构，开口向下的抛物线，只要在32x上导函数值0,即023294)32('af91a（2）继续分析导函数结构，开口向下对称轴为21x，有两个根分布于21两侧，在20a条件下，右侧根2x处在（1，2171），由导函数图象可知，原函数在2xx取得极大值，因此在限定区间]4,1[上)(xf在1或4上取得最小值，最大值是)(2xf，接下来比较)4()1(ff和的大小，谁小谁就是最小值：aaf26122131)1(aaf8340816216431)4(，当20a时，)4()1(ff，)4(minff=3168340a思维链条：求导分析导函数结构分析原函数在限定区间上值域界点（最小值）的表达建立方程求参数2x1x214、由单调区性反演参数范围T1（KB09L）****xebaxxxxf)3()(23，若上单调递减，单调递增，在在),(),2,(),2(),,()(xf证明6-SL：求导：))6(()('3baxaxexfx，从导函数结构可知，其与因子函数)(xgbaxax)6(3正负一致，)(xg是三次函数形式，再结合)(xf单调区间情况，可推断出)(xg的三个根是、、2，因此040)2(bag，)22)(2()()(2axxxxgxg可因式分解为：，令)(xh)22(2axx，此时、就是0)(xh的两个根了，因此aa412)2(4)2(2，到此已经把所求范围量化为了含一个变量的值域形式了，接下来就集中精力研究a的范围即可，通过三个根是、、2的大小关系建立不等关系：0)2(2f（二次方程根分布理论）66a思维链条：根据导函数结构形式结合单调特征表达出所求范围量的形式然后再根据题中不等条件找出范围量中变量范围化归到了求值域题后深思：问答形式与2012年比较联系。函数值域反演参数范围T1（KB12W）*****讨论函数()2xfxex，k为整数，且当0x时，()'()10xkfxx，求k的最大值。SL：初步分析此题，属于由参数型函数值域反演参数范围类问题，思路有二：①参数表达值域边界，根据值域边界不等关系推算参数范围；②分离变量，转化为固定函数值域与变量的不等关系。思维方向A：①参数表达值域边界。令()Fx()'()1()(1)1xxkfxxxkex，求导'()(1)()1(1)xxxFxeexkexk，由这个导函数结构可知，11min(1)11kkFFkekke，又因为1min()0010kFxFke，到此再求参数k的范围就比较靠谱了，或者利用函数差关系或者分别列举数字，max2k思维链条A：求导分析导数结构找到值域界点（极值）参数表达根据不等条件建立值域界点不等式思维方向B：②分离变量。由原不等式分离变量处理得：11xxxke，若能求出题目限定定义域下的左边固定型函数值域，则参数k小于左边函数值域的下限.;l令1()1xxFxxe，求导2221(1)(2)'()1(2)(1)(1)(1)xxxxxxxxxeexeexeFxexeee，由此导函数结构可知：当0000min20()xxexFxF满足时，，即000000011()()11xxxxxeFxFxxee，代入0x关系：0000202xxexex得：0min1Fxk，到此要由0000202xxexex关系找到0x的范围：000123xxeex时：，02000224213xxeexx时：，因此参数k最大值取2.思维链条B：参数自变量左右分离找到固定函数（x表达式）值域界点根据不等关系找出参数和左边函数值域界点关系5T2(KB12L)*****函数21()2xfxexx，若21()2fxxaxb，求(1)ab的最大值。SL：把不等式右边移项后，得：21()02fxxaxb，若令21()()(1)2xxFxfxxaxbexaxbeaxb，则问题转化为了参数型函数值域反演参数范围类问题，因为是求两个参数变量组合形式的范围，因此分离变量思路靠后，参数表达值域边界思路上前：求导'()Fx(1)xea，若10a，当x越来越小时，则(1)yaxb越来越大，而xye越来越小，则总存在小于0的点，此处也可由图象关系画出，因此10a，而且在ln(1)xa处取得最小值min(ln(1))1(1)ln(1)FFaaaab依题意知：min0F（恒成立情形：全称逻辑关系），22min(ln(1))1(1)ln(1)0(1)(1)ln(1)(1)FFaaaabaaaab，求(1)ab的最大值，也就是求不等式22(1)(1)ln(1)(1)aaaab的临界情况：如图：到此，求左面表达函数的最大值即可：构造函数220,()lnthtttt思路链条：移项等处理成参数值域不等关系找到参数函数值域界点由约束不等关系及值域界点建立参数不等关系T3（KB10L-G）*****21)(axxexfx,（1）讨论函数单调性；（2）若当0x时，0)(xf，求a的范围？SL：（1）求导：axexfx21)('，讨论参数范围，此导函数形式可看作是指数函数xey与一次函数axy21的差关系：当时，由图象关系可知0a：当0)('0;0)('0xfxxfx时，时，。当0a时，有两种可能，①当120a时，存在00x：0)('00xfxxx时，，00xx时，0)('xf；②当12a时，存在00x：0)('00xfxxx时，，00xx时，0)('xf；,0a单独讨论。（2）此题也属于限定区间上的值域反演参数范围：再观察题目不等形式，带有等号，因此从研究函数最值界点入手，因为axexfx21)('，对于a的不同范围对于的单调区间已经在（1）中讨论过了，现在题目约束条件是当0x时，0)(xf，而0)0(f，因此在0x右边附近只能单增，因此a只能1200aaa及和画图一目了然：6再思：以上是从函数图象角度进行分析，也可以从研究导函数进行：对导函数求导：aexfx2)(''，若,12a则在右侧附近就会上，尤其是00xx出现0)0(')('fxf，显然不符合题意。题后小结：本题也是从参数如何影响值域界点入手反演参数范围的。思维链条：找到参数如何影响函数最小值根据题目约束条件确