高中数学题型讲义(直线与圆)

1直线与圆题型库（1）知识精髓直线方程二个概念（斜率、倾斜角）三个距离（点点、点线、平行线间）四组关系（相交、平行、垂直、对称）五种形式（点斜（标准）、斜截、两点、截距、一般）圆方程两种形式（标准、一般）三种关系（点圆、线圆、圆圆）重点难点：直线间关系难点：对称关系；直线旋转一定角度后的斜率计算，如过圆外固定点的两条切线或割线斜率计算。直线与圆间关系圆与圆间关系温馨提示：时刻不要忘记斜率不存在情况的讨论主干题型思维路径倾斜角范围讨论T1***已知[,)62，求直线2cos31xay的倾斜角范围？T2（SDM10）****cos320xay，求其倾斜角范围？T1:k2cos3a,3cos(0,]2a,3[,0)3k,5[,)6a倾斜角T2：cos3ak，因为1cos1a3333k如图：直线越靠近y轴，斜率绝对值越大，反之亦然本题中3333k，其绝对值33k，直线越靠近x轴，所以倾斜角是5[0,][,)66温馨提示：倾斜角范围一般由斜率范围反演，有两种情形：两边和中间，即：①00kkkk或；②12kkk斜率逆时针增大：0,跨过y轴后，0正切函数在[0,),)22和(上单增斜率绝对值越大，直线越靠近y轴，绝对值越小，直线越靠近x轴。斜率范围讨论T1***直线l过点(1,2),P且与以(2,3),(3,0)A为端点的线段相交，求直线l的斜率范围？T1:求直线斜率范围，要重点分析动直线是否存在“垂直状态”情形，若存在，则分两类：0和0,若不存在，则要么是在.0类范围，要么在0类范围。通过图形可知本题动直线存在“垂直状态”的情况，因此分两类讨论。求直线方程（求斜率和过点，点斜式是根本）T1***直线经点(2,3)P，且两坐标上的截距相等，求直线方程？T2****过点(2,1)P的直线l交两轴于A,B两点，求（1）当AOB面积最小时直线方程？（2）PAPB最小时直线方程？T1：这种类型的题高考不会考，属于基本功题型；但必须熟练掌握，为高考题打下基础；T2：这类题属于条件约束下的直线方程问题，通解思路就是根据条件选择合适直线方程形式，写出含参的直线方程形式，根据约束条件建立参数方程，进而求出参数即可。这也是所有这类题型的通用解法。2直线与圆题型库（2）主干题型思维路径两条直线的平行与垂直T1***（AH10）过点(1,0)且与直线220xy平行（垂直）的直线方程是？T2****已知两条直线12:sin10:2sin10lxylxy和，试求两直线平行、垂直时的值。快捷提示：只要涉及到直线问题，就得单拎出斜率不存在的情况进行分析。T1、略。T2：先分析①特殊情形：1lx轴：sin0，此时：122sinkk不存在；再分析②一般情形：1212sinsinkk=-；然后再以上的两种情况下分别从平行和垂直约束下求参数值两直线交点问题T1***直线l过两直线3210xy和5210xy的交点，且垂直于直线3560xy的直线方程？T2****（BJM10）直线1ykx与直线10xy的交点位于第一象限，则k范围？T1、求出交点和斜率，点斜式写出即可。T2：可通过图象分析求得。距离问题T1****求过点（-2，2）且与点（-1,1）的距离为1的直线方程？T2****直线:310lxy及点A（4,1），B（0,4），C（2,0）求（1）在直线l上求一点P，使得AP+CP最小；（2）在直线l上求一点Q，使得AQ-BQ绝对值最大。T1：分特殊情况和一般情况进行分类分析；T2：图形如图：同侧两侧中点问题T1****过点P（3，0）作直线l使它被两条直线22030xyxy和所截得线段恰好被P点平分，求直线l方程？T1：中点问题一般是设中点线段坐标，然后中点公式表示中点，如本题：可设线段的一个端点是11(,)xy，另一个端点22(,)xy，则可列出四个方程（斜率和中点：2+2），然后只要求出一个端点，则就能把中点线段方程写出，3直线与圆题型库（3）主干题型思维路径点对称问题T***直线l：41yx关于点（2,3）对称的直线方程？T：思路1：轨迹法：所求直线上任一点(,)xy关于对称点（2,3）的对称点（中点关系）在已知直线上，因此：234(22)1yx思路2：点对称直线平行且对称点到两直线距离相等。利用这个几何关系列方程也可。轴对称问题T****直线:3410lxy，直线1:240lxy，直线2l与直线1l关于直线l对称，求直线2l方程？T：思路1：轨迹法：直线2l上任一点(,)xy关于直线l的对称点一定在已知直线1l上，其中轴对称点关系：连线垂直对称轴+中点在对称轴上思路2：具体点：在已知直线上取一具体点（0,4），然后求出其关于对称对称的点（00,xy），然后与对称轴和已知直线交点用两点式写出直线方程。总而言之就是等腰三角形关系主干题型思维路径求圆方程T1***圆半径为10，圆心在直线2yx上，圆被直线yx截得弦长为42，求圆标准方程？T2****圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线20xy相切，则圆方程？T3****（KB10L）过点（1,4）的圆C与直线10xy相切于点B（2,1）则圆C的方程为？圆就抓圆心。因此本类题关键是要把圆心的坐标求出，见弦就垂径！，垂径后解直角三角形！解略。与圆有关的最值问题T1****已知方程22410xyx，求（1）yx范围；（2）求22xy的范围；（3）求yx的范围？T2****（CQ11）在圆22260xyxy内，过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC、BD，则四边形ABCD的面积为？T1：已知方程(,)0fxy是一条几何曲线，所求表达也是一种几何度量，综合两者求出其范围。所求表达一般有三种形式结构：①axby，直线平移中的截距范围（如：线性规划）；②22()()xayb：以点(,)ab为圆心的圆半径范围；③ybxa：曲线上点与点(,)ab连线的斜率范围。T2：最长弦：直径；最短弦：中点弦。4直线与圆题型库（4）主干题型思维路径与圆有关的轨迹问题T1（GD11****设圆C与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切，（1）求圆C的圆心轨迹方程（2）已知点3545(,),(5,0)55MF且P为L上动点，求MPFP的最大值及此时点P的坐标。T1：（1）求轨迹方程首先把轨迹点的坐标设为(,)xy，然后根据题目约束条件求出方程(,)0fxy即可。题目约束关系为：CC圆与一圆圆心距离它们半径之差（内切）圆与另一圆圆心距离它们半径之和（外切）或CC圆与一圆圆心距离它们半径之和（外切）圆与另一圆圆心距离它们半径之差（内切），然后根据题目条件求,xy方程关系。（2）由（1）可知轨迹L是一组焦点在x轴上的双曲线，已知点M、F分布于一支双曲线的两侧，MF连线与双曲线的交点即为所求。（2，6525(,)55圆的一般方程应用T（HB10M）****若方程224(1)40axayaxy表示圆，求参数a取值范围，并求出其半径最小的圆方程.T:圆的一般方程中参数的范围核心约束就是“半径表达”0且二次项系数0因此首先0a，然表达半径2222216(22)40aarDEFa222216(22)2216(1)0aaraaa，转化为二次反比例复合函数的值域问题综合求圆方程T（HN10M）****根据下列条件求圆方程：（1）过点(1,1)P和坐标原点，且圆心在直线2310xy上；（2）圆心在直线4yx上，且与直线:10lxy相切于点P（3，-2）（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)ABCT：（1）标准方程（2）思维1：标准方程，思维2：切线关系。（3）思维1：一般方程；思维2：两条线段中垂线交点为圆心5直线与圆题型库（5）直线与圆关系知识精髓两个问题：切线和弦长切线方程：圆方程222()()xaybr，过点00(,)Pxy的切线方程为：200()()()()xaxaybybr特殊情形：222xyr，过点00(,)Pxy的切线方程为：200xxyyr以上公式推理逻辑：几何法：圆心切点连线垂直切线，切点在切线和圆上；代数法：斜截式直线斜率满足相交方程0关系。当然也可以利用导数工具。注意：不要忘记斜率不存直线的讨论！弦长问题：圆截直线弦：几何法和代数法。几何法（垂径关系下的勾股定理）在圆中首选，代数法通用于所有曲线弦问题。221212(1)[()4]ABkxxxx三种直线与圆的关系：相交、相切、相离（代数法：相交二次方程；几何法：圆心到直线的距离与半径关系）四种圆与圆的关系：相交、内切、外切、相离（外离、内含）几何法：圆心和（差）与半径和（差）关系）圆系方程：同心圆系：220xyDxEy或222()()xaybr过两圆交点圆系：12(,)(,)0fxyfxy，（0，不包括圆2）两圆公共弦直线方程：121212()()0DDxEEyFF温馨提示：遇到圆的问题时，多用几何关系，辅以代数处理。主干题型思维路径直线与圆的关系T1（SH11）***直线1:()2lykx与圆221xy的位置关系是什么？T2（SDM11）****将圆221xy沿x轴正方向平移1个单位后得圆C，若过点（3,0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率=？T3（LN09L）***圆C与直线0xy及40xy都相切，圆心在直线0xy上，则圆C的方程为？T4(JX11L)****若曲线221:20Cxyx与曲线2:()0Cyymxm有四个不同交点，则参数m取值范围？T5（SX12）***圆C：2240xyx，l过点（3,0），则l与C的关系为？(先判断定点与圆C的关系：内部，因此相交)T1：遇到参数直线形式，一定要找到变中的不变，要不过定点（绕定点转动），要不斜率不变（倾斜一定平移），本题直线过定点1(,0)2，然后再考察定点与圆的关系，代入计算知：在圆内，因此直线与圆相交。当然也可以计算圆心到直线距离表达后与半径比较；或者计算相交二次方程的T2：几何法：画出切线直角三角形，并根据直角三角形三边长计算切线斜率。代数法：圆心（1,0）到直线(3)ykx的距离=半径，求出k。T3：画图从几何关系入手分析。22(1)(1)2xyT4：曲线2C是由直线0y和(1)ymx【过定点（-1,0）】组成，画图后可知，两条临界直线是斜率为33，旋转过程中不能与y=0重合（四个交点）。6直线与圆题型库（6）主干题型思维路径弦长与中点弦问题T1****圆228xy内一点(1,2)P，过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点，（1）当34时，AB的长为？（2）当弦AB被点P平分时，求直线l方程。T2（JX10）****直线3ykx与圆22(3)(2)4xy相交于M、N两点，若23MN，则k取值范围？（过圆外一定点的定值弦长问题）T3****直线1yx上一点向圆22(3)1xy引切线，则切线长最小为？T4（HB11M）****过点P（3,4）作圆221xy的两条切线，切点为A、B，则线段AB长为？T5（JS12L）****圆C方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是？T1：（1）垂径直角关系求之30（2）思维1：设出A、B两点坐标，列出在圆上的方程，两式相减求出斜率。思维2：挖掘几何关系：圆心与弦中点P连线后垂直弦，中点又在弦上。直线方程可求。T2：