高中数学选修4-5知识点(最全版)

高中数学选修4-5知识点1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系．(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点A在点B的左边时，ab；当点A在点B的右边时，ab．(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)ab⇔a－b0a＝b⇔a－b＝0ab⇔a－b0(4)两个实数比较大小的步骤①作差；②变形；③判断差的符号；④结论．2．不等关系与不等式(1)不等号有≠，，，≥，≤共5个．(2)相等关系和不等关系任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的．(3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式．(4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系．3.不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab，c∈R⇔a＋cb＋c；(4)加法法则：ab，cd⇒a＋cb＋d；(5)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；(6)乘法法则：ab0，cd0⇒acbd；(7)乘方法则：ab0，n∈N且n≥2⇒anbn；(8)开方法则：ab0，n∈N且n≥2⇒nanb.（9）倒数法则，即ab0⇒1a1b.2．基本不等式1．重要不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a，b0，那么2abab(a＋b2≥ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值，最大值为S24.②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值，最小值为2P.3．基本不等式ab≤a＋b2的几何解释如图，AB是⊙O的直径，C是AB上任意一点，DE是过C点垂直AB的弦．若AC＝a，BC＝b，则AB＝a＋b，⊙O的半径R＝a＋b2，Rt△ACD∽Rt△DCB，CD2＝AC·BC＝ab，CD＝ab，CD≤R⇒ab≤a＋b2，当且仅当C点与O点重合时，CD＝R＝AB2，即ab＝a＋b2.4．几个常用的重要不等式(1)如果a∈R，那么a2≥0，当且仅当a＝0时取等号；(2)如果a，b0，那么ab≤（a＋b）24，当且仅当a＝b时等号成立．(3)如果a0，那么a＋1a≥2，当且仅当a＝1时等号成立．(4)如果ab0，那么ab＋ba≥2，当且仅当a＝b时等号成立．3．三个正数的算术­几何平均不等式1．如果a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．(定理3)如果a、b、c∈R＋，那么33abcabc(a＋b＋c3≥3abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．3．如果a1，a2，…，an∈R＋，那么a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．即对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均．二绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：|a|＝a（a≥0）－a（a0）(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B分别对应实数x1，x2，则|AB|＝|x1－x2|．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．推论1：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.推论2：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法1．|x|a与|x|a型不等式的解法设a0，则(1)|x|a⇔－axa；(2)|x|≤a⇔－a≤x≤a；(3)|x|a⇔x－a或xa；(4)|x|≥a⇔x≤－a或x≥a．2．|ax＋b|≤c(c0)与|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c．3．|x－a|＋|x－b|≤c与|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释．(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键．注：绝对值的几何意义(1)|x|的几何意义是数轴上点x与原点O的距离；(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之和；(3)|x－a|－|x－b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之差．2．绝对值不等式的几何意义(1)|x|≤a(a0)的几何意义是以点a和－a为端点的线段，|x|≤a的解集是[－a，a]．(2)|x|a(a0)的几何意义是数轴除去以点a和－a为端点的线段后剩下的两条射线，|x|a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)．3．解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解．例题：例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例1：解不等式125xx。分析:由01x，02x，得1x和2x。2和1把实数集合分成三个区间，即2x，12x，1x，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。解:当x＜-2时，得2(1)(2)5xxx，解得：23x当-2≤x≤1时，得21,(1)(2)5xxx，解得：12x当1x时，得1,(1)(2)5.xxx，解得：21x综上，原不等式的解集为23xx。例2：解不等式|2x－4|－|3x＋9|1.解：①当x2时，原不等式可化为x2，（2x－4）－（3x＋9）1，解得x2.②当－3≤x≤2时，原不等式可化为－3≤x≤2，－（2x－4）－（3x＋9）1，解得－65x≤2.③当x－3时，原不等式可化为x－3，－（2x－4）＋（3x＋9）1，解得x－12.综上所述，原不等式的解集为{x|x－12或x－65}．第二讲证明不等式的基本方法一比较法比较法主要有1.作差比较法2.作商比较法1．作差比较法(简称比差法)(1)作差比较法的证明依据是：ab⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝0；ab⇔a－b0.(2)基本步骤是：①作差；②变形；③判号；④结论．2．作商比较法(简称比商法)(1)作商比较法的证明依据是：当b0时，ab1⇔ab；ab＝1⇔a＝b；ab1⇔ab.(2)基本步骤是：①作商；②变形；③比较与1的大小；④结论．注意：对作差比较法的理解(1)在证明不等式的各种方法中，作差比较法是最基本、最重要的方法．作差比较法是通过确定不等式两边的差的符号来证明不等式的，因而其应用非常广泛．(2)不等式差的符号是正是负，一般必须利用不等式的性质经过变形才能判断，其中变形的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等．(3)作差比较法，主要适用于不等式两边是整式或分式型的有理不等式的证明．(4)在判定不等式两边的式子同号的条件下，如果直接作差不易变形，可以借助不等式性质作平方差或立方差，进行证明．2．对作商比较法的理解(1)使用作商法证明不等式ab时，一定要注意b0这个前提条件．若b0，ab1⇔ab，ab＝1⇔a＝b，ab1⇔ab.(2)当欲证明的不等式的两边是乘积形式、指数幂形式，不同底的对数式形式时，常用作商法证明．二综合法与分析法1．综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．2．分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种执果索因的思考和证明方法．注意:1．用综合法证明不等式的逻辑关系A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B由已知逐步推演不等式成立的必要条件，从而得结论．2．用分析法证明不等式的逻辑关系A⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐B由结论步步寻求不等式成立的充分条件，从而到已知．3．综合法和分析法的比较(1)相同点：都是直接证明．(2)不同点：综合法：由因导果，形式简洁，易于表达；分析法：执果索因，利于思考，易于探索．4．证明不等式的通常做法常用分析法找证题切入点，用综合法写证题过程．三反证法与放缩法1．反证法证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．我们把它称之为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．3．换元法将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法．注意：1．关于反证法(1)反证法的原理是否定之否定等于肯定．即第一次否定—在假设中，否定了结论↓第二次否定—通过推理论证，又否定了假设(2)反证法的使用范围一般以下几种情况适宜使用反证法：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②有关结论是以“至多…”或“至少…”的形式出现的一类命题；③关于唯一性、存在性的命题；④结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．(3)使用反证法的主要步骤(4)准确地作出反设是反证法证题的前提，下面是常用词语的反设原结论反设原结论反设是不是至少有一个一个也没有都是至少有一个不是至多有一个至少有两个大于小于等于至少有n个至多有(n－1)个小于大于等于至多有n个至少有(n＋1)个对所有x成立至少有一个x不成立p或q非p且非q对任何x不成立至少有一个x成立p且q非p或非q(5)运用反证法的五点说明①反设时一定不能把“假设”写成“设”．②当结论的反面有多种可能时，必须全部列出，否则证明是不完整的．③必须从结论的否定出发进行推理，就是一定把结论的否定作为推理的条件，只要推理中没有用到“假设”就不是反证法．④最后导出的矛盾是多样的，可能与已知矛盾、与假设矛盾、与定义、定理、公式矛盾、与已知的事实矛盾等，但矛盾必须是明显的．⑤反证法是一种间接证明的方法．2．关于放缩法(1)放缩法证明不等式的理论依据有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量．其中减去一个正数值变小(缩)，加上一个正数值变大(放)；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值三角不等式；⑤三角函数的有界性等．(2)运用放缩法证题的关键是：放大或缩小要适当，千万不能放(缩)过头，否则问题无法获证．(3)使用放缩法的常用变形放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质等进行放缩．比如：a＋122＋34a＋122；1n21n（n