高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180°。2、斜率：①找k：k=tanα（α≠90°）；②垂直：斜率k不存在；③范围：斜率k∈R。3、斜率与坐标：12122121tanxxyyxxyyk①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。4、直线与直线的位置关系：222111:,:bxkylbxkyl①相交：斜率21kk（前提是斜率都存在）特例----垂直时：10211kkxl不存在，则轴，即；2斜率都存在时：121kk。②平行：1斜率都存在时：2121,bbkk；2斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。③重合：斜率都存在时：2121,bbkk；二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00xxkyy将已知点kyx与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：bkxy将已知截距kb与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121yyxxxxxxyyyy其中，将已知两点),(),,(2211yxyx直接带入即可；④截距式：1byax将已知截距坐标),0(),0,(ba直接带入即可；⑤一般式：0CByAx，其中A、B不同时为0用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(yyxxPP②点到直线距离：2200BACByAxd③平行直线间距离：2221BACCd4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211yxByxA①AB中点),(00yx：)2,2(2121yyxx②AB三分点),(),,(2211tsts：)32,32(2121yyxx靠近A的三分点坐标)32,32(2121yyxx靠近B的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。三、解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）：①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：①PBPA的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：②PBPA的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；③22PBPA的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。3、直线必过点：①含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1=y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0=必过点(-2,3)②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0联立方程组求解=必过点(-1/7,3/7)4、易错辨析：①讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：1斜率不存在时，是否满足题意；2斜率存在时，斜率会有怎样关系。②注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）yxo③直线到两定点距离相等，有两种情况：1直线与两定点所在直线平行；2直线过两定点的中点。圆的方程1.定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2.圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程——022FEyDxyx其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个圆，当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形.第二种：圆的标准方程——222)()(rbyax.其中点),(baC为圆心，r为半径的圆第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）注：圆的直径方程：已知0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA3.点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（③M在圆C外22020)()(rbyax4.直线和圆的位置关系：设圆圆C：)0()()(222rrbyax；直线l：)0(022BACByAx；圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad.①rd时，l与C相切；②rd时，l与C相交；，③rd时，l与C相离.5、圆的切线方程：①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）6.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0过两圆的交点的直线方程：x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7.与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*√R2-d2其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离AB=（√1+k2）*∣X1-X2∣其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8.圆的一些最值问题①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。9.圆的对称问题①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标圆锥曲线椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合1、定义：12122(2)PFPFaaFF第二定义：(01)PFceeda2、标准方程：22221(0)xyabab或22221(0)yxabab；3、参数方程cossinxayb（为参数）几何意义：离心角4、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质）①、顶点(,0),(0,)ab②、焦点(,0)c③、离心率(01)ceea④准线：2axc（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）5、焦点三角形面积：122tan2PFFSb（设12FPF）(推导过程必须会)6、椭圆面积：Sab椭（了解即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（0）；相交（0）；相切（0）判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数8、椭圆切线的求法1）切点（00xy）已知时，22221(0)xyabab切线00221xxyyab22221(0)yxabab切线00221yyxxab2）切线斜率k已知时，22221(0)xyabab切线222ykxakb22221(0)yxabab切线222ykxbka9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离22221(0)xyabab0raex（左加右减）22221(0)yaabab0raey（下加上减）双曲线1、定义：122PFPFa第二定义：(1)PFceeda2、标准方程：22221(0,0)xyabab（焦点在x轴）22221(0,0)yxabab（焦点在y轴）参数方程：sectanxayb（为参数）用法：可设曲线上任一点P(sec,tan)ab3、几何性质①顶点(,0)a②焦点(,0)c222cab③离心率cea1e④准线2axc⑤渐近线22221(0,0)xyababbyxa或22220xyab22221(0,0)yxababbyxa或22220yxab4、特殊双曲线①、等轴双曲线22221xyaa2e渐近线yx②、双曲线22221xyab的共轭双曲线22221xyab性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系①相离（0）；②相切（0）；③相交（0）判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式22221(0,0)xyabab点P在右支上0rexa（左加右减）点P在左支上0()rexa（左加右减）22221(0,0)yxabab点P在上支上0reya（下加上减）点P在上支上0()reya（下加上减）7、双曲线切线的求法①切点P00(,)xy已知22221(0,0)xyabab切线00221xxyyab22221(0,0)yxabab切线00221yyxxab②切线斜率K已知22221xyab222()bykxakbka22221yxab222()bykxabkka8、焦点三角形面积：122cot2PFFSb（为12FPF）抛物线1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）2、几何性质：P几何意义：焦准距焦点到准线的距离设为P标准方程：22(0)ypxp22(0)ypxp图像：范围：0x0x对称轴：x轴x轴顶点：（0，0）（0，0）焦点：（,02p）（,02p）离心率：1e1e准线：2px2px标准方程：22(0)xpyp22(0)xpyp图像：范围：0y0y对称轴：y轴y轴定点：（0，0）（0，0）焦点：（0，2p）(0,)2p离心率：1e1e准线：2py2py3、参数方程222xptypt（t为参数方程）22(0)ypxp4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦椭圆：双曲线通径长22ba抛物线通径长2P5、直线与抛物线的位置关系1）相交（有两个交点或一个交点）2）相切（有一个交点）；3）相离（没有交点）6、抛物线切线的求法1）切点P00(,)xy已知：22(0)ypxp的切线；00()yypxx2）切线斜率K已知：22(0):2pypxpykxk22(0):2pypxpykxk222(0):2pkxpypykx222(0):2pkxpypykx此类公式填空选择或解答