高中数学智库讲义(解析几何理科初步及文科)

1高考文数专题——解析几何根据近年来新课标高考趋势，解析几何大题仍然保持中等难度，考点主要集中于以下几个方面：（1）轨迹方程求解：圆、椭圆、双曲线、抛物线；（2）直线与圆锥曲线相交问题：焦线弦、中点弦、弦长、位置关系等；（3）探索性问题：存在性问题（与向量交叉）、几何量（长度、面积、角度等）最值问题。【磨砺壮志——解题思路】轨迹方程求解先设轨迹点横纵坐标为),(yx，然后用yx,表达相关点的横纵坐标，然后根据约束关系列出等式建立yx,的关系式，最后整理即可。直线与圆锥曲线相交问题核心工具：相交方程（二次）（1）交点个数：利用相交方程（二次）的来判定。（2）相交弦问题：弦中点坐标：22)(2,221210210bxxkyyyxxx，也可利用相交方程（二次）的根与系数关系（韦达定理）表达。中点弦斜率：已知弦中点坐标，设出两交点坐标，代入曲线方程，两式相减，就建立了弦直线斜率与中点坐标的关系：如下：)2(1)1(1222222221221byaxbyax（1）-（2）得：22F1F2F1F202022122121212212122121)()(0))(())((aybxayybxxxxyybyyyyaxxxx相交弦长公式：2122122124)(11xxxxkxxkl，可用相交方程（二次）的根与系数关系（韦达定理）表达。过焦点F弦长：思路（1）按照一般性的弦长公式表达；思路（2）两条焦半径长之和。具体如下：如图：(焦半径计算思路：{1}与P点横坐标发生联系（利用椭圆第二定义）BAexaBFexaAF11,左焦弦+右焦弦-，则)(2BAxxeaAB，同样可用相交方程（二次）的根与系数关系（韦达定理）表达；{2}与焦半径所在直线倾斜角发生联系：具体如下：ABBA3如果焦点弦AB斜率tan或倾斜角已知，则“倾斜角焦半径公式”：ppcbpeepBFeepAF，抛物线中，其中2cos1,cos1（同一焦点弦上，较长的是-号，较短的是+号），则22cos12eepBFAFAB。此公式在“已知（涉及）焦点弦斜率或倾斜角的弦长问题”中往往能起到意想不到的效果。此公式适用于三个圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）总而言之，解决“直线与圆锥曲线相交弦问题”的一般思路是：设出两交点的横纵坐标，把弦直线方程（没有给出时自己要建立）代入圆锥曲线方程建立x的相交方程（二次），然后利用根与系数关系建立参数关系式，解决相关问题。值得注意的一点是：如果是“过焦点F的弦长问题，同时又知道焦点弦的斜率或倾斜角”那么可尝试先用“倾斜角焦半径之和弦长公式22cos12eepBFAFAB”进行解算，经常能收到事半功倍的效果（见2010课标20（2）、2008课标14）。探索性问题此类问题出题比较多变，有存在性问题、几何量（线段长、面积）最值、过定点等类型。但无论怎么考，万变不离其中，通过分析近几年的高考真题发现，中等难度的题只要用好“在原曲线上就满足其方程”和“相交点满足相交方程根与系数关系”等的“设而不求”技术即可解决问题，难点题目就需要求出交点坐标，进行一些比较复杂的运算，鲜明特点是运算量较大，但思路切入门槛较低。注意点：此类问题要充分挖掘所给情形的几何特征，尤其注意线段等长转化为中垂关系、切线转化为圆心到直线的距离，紧密体现数4形结合的思路思想。【温馨提示】1、三条曲线的垂径长度要知道怎么算。2、三条曲线的两个定义都要记熟，不偏不倚，同等对待。（到焦点与到准线的距离之比）3、双曲线渐近线要会求，注意双曲线和椭圆几何元素的区别。4、深刻理解椭圆和双曲线的“轴三角形”。5、能识别和写出圆锥曲线的参数方程。【真题论剑】（2007课标卷宁夏、海南19）圆0321222xyx的圆心为Q，过点)2,0(P且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点BA、。（1）求k的取值范围；（2）是否存在常数k，使得向量值，不存在说明理由。共线？如果存在，求与kPQOBOA【思考】（1）本题是直线与曲线的关系问题，曲线是圆。“相交于不同的两点”相交二次方程0，建立关于k的不等式，求解即可。具体解答如下：直线方程设为交二次方程为：代入圆方程并整理得相2kxy0430)68(16036)3(4)1(222kkkxkxk对应（2）存在性问题。涉及到直线与圆曲线的交点BA、，可设),(),,(2211yxByxA，再根据题中约束条件建立关系式：)2,6(),,(2121PQyyxxOBOA，若它们共线则满足：5)(336221212121xxyyxxyy，再由交点BA、也在直线上，所以：22121、、kxy，代入得：34)(34)(212121kxxxxxxk同时：再由相交二次方程中的根与系数关系（韦达定理）得：2211)3(4kkxx，由此建立了参数431)3(434-2kkkkk的关系式：再看看是否满足（1）中有两个交点的约束范围：)0,43(，结论是不满足，所以不存在这样的k值。【反思】直线曲线相交问题肯定与交点脱离不了干系，要么利用根与系数关系化零为整，要不就老实算出交点坐标参数表达式，当然首选根与系数处理手法，走不通再算不迟。（2008课标宁夏、海南卷20）Rm，直线l：mymmx4)1(2和圆.01648:22yxyxC（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长比值为21的两段圆弧？为什么？【思考】（1）第一问还未涉及相交问题，所以从直线斜率自身表达式入手：2121)(1112kmmmmk对勾函数变式（2）此问就涉及到了直线与圆曲线的相交问题了。根据题目条件，要先画出辅助图形，先挖掘其潜在的几何特征，并据此建立关系式：6如上图，直线l将圆C分割1比2的弧长即弦对应的圆心角为120度，过圆心做弦的垂线，根据垂径定理，出现一个30-60度直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的一半，先算圆心到直线的距离：1)1()1(22222mmmd（圆心坐标为（4，-2），半径为2）整理得：03625035324mm，所以不存在满足条件的m值，也就是这样的直线不存在。当然，本题也可以把直线斜率设为)4(0,4xkyk），直线方程：（，然后看出直线恒过点，其余思路一样，这样就得结合（1）中求出k范围来取舍。【反思】本题第2问虽然是直线相交问题，但存在性探索并没有涉及到交点坐标表达式，所以没用到韦达定理。涉及到圆的弦问题时，一定要先作出垂径直角三角形，充分利用圆的几何特性。（2009课标宁夏、海南20）椭圆C的焦点在x轴上，其一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.7MP（1）求椭圆方程；（2）若M为椭圆上的懂点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，轨迹是什么曲线的轨迹方程，并说明其，求点为椭圆离心率MeeOMOP)(。【思考】（1）求圆锥曲线方程其实就是求三个几何要素中的任两个即可。本题条件给出了两个关系：7343417bcacacaca所以椭圆方程为：171622yx（2）按照题中条件画出辅助图：求M点轨迹方程，设M（x,y）,P（x,py）,接下来利用比例关系寻找py与M点坐标x,y的关系：1679432222222xyyeyxyxOMOPpp，再利用P在椭圆上，则P点坐标满足：再将171622pyx1679222xyyp代入整理得x与y的轨迹方程：8)44(374xy，其轨迹是两条平行于x轴的线段。【反思】圆锥曲线中，三个几何要素两两独立，只要两个条件即可确定；求轨迹方程时的核心是根据题中约束条件消去中间变量建立x与y的关系式，要注意其取值范围。（2010课标卷20）的左右焦点：分别是椭圆、)10(122221bbyxEFF，过1F的直线l与E相交于A、B两点，且成等差数列。，22,BFABAF（1）求AB;（2）若直线l的斜率为1，求b的值。【思考】（1）题目条件中出现了到焦点的距离，考虑尝试椭圆第一定义几何关系。先根据条件列等式吧：222AFBFAB11BFAFAB,2,21212AFAFBFBF代入得：34-4-4211ABABAFBFAB）（（2）此问中给出了直线斜率，由（1）问已经算出了弦长，此弦又是过焦点的弦，综合以上条件可知：能利用“倾斜角焦点弦长公式”22cos12eepBFAFAB斜率是1，则22cos，1-12be，2221bbcbp，代入则得:9222121)1(11123422222bbbbbbAB《另解》：也可用传统的弦长公式计算：得出相交方程，利用根与系数关系和弦长公式2122122124)(11xxxxkxxkl计算出b的值，但这样的计算量显然稍大了些。【反思】不论大题、小题，如果是过焦点弦或半径问题，就要首选“倾斜角弦长（焦半径）公式”处理手法，若行不通，再回到传统方法也不晚么。（2011课标卷20）曲线上。与坐标轴的交点都在圆Cxxy162（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线的值。求两点，且、交于aOBOABAayx,0【思考】（1）题中所给曲线是抛物线，经粗略计算知其与坐标轴有三个交点，x轴两个，y轴截距。圆C圆心肯定在抛物线对称轴上，所以圆心坐标可设为),3(0y，算出抛物线与x轴交点的坐标22322-3和根据圆的定义得出如下关系式：3,1)223(3()1(9020220Ryyy，所以圆C的方程为：9)1()3(22yx（2）此小题是直线与曲线相交问题，或许会用到相交方程的根与系数关系，不急，先根据条件看看交点坐标之间的关系如何：设),(),,(2211yxByxA，0)(20221212121axxaxxyyxxOBOA，到此观察左边坐标关系，断定可以用相交方程的根与系数关系，根据条件10建立相交方程：012)82(29)1()3(02222aaxaxyxayx所以：212,28222121aaxxaxx，代入0)(222121axxaxx得：1a，代入相交方程中的满足大于0的相交条件所以1a【反思】此题第一问涉及到圆曲线，再一次应证了遇到圆时一定要考虑到垂径定理和圆心在弦垂直平分线上等几何特征，不然将给计算带来灾难性后果。第二问中的条件涉及到相交点，而且根据条件整理出了两交点横坐标对称性和积整式，因此可以利用“相交方程的韦达定理”设而不求达到目的。【回顾】以上是2007-2011年5年的课标卷解析几何大题，从试题难度设计来看始终保持在中等难度，运算量也不会太大，多考察直线与椭圆和圆之间的关系，还未考到双曲线，说不准2012年设计一道双曲线的题呢，应该给予足够关注，尽管如此，试题难度仍会保持中等难得，所以遇到双曲线也不要被吓到，说不定比椭圆还要简单呢。呵呵，只是要注意自己出来双曲线时的思维严密性和与椭圆几何元素的区别。接下来再就金考卷中的大题做一演练和分析：（2012哈师附、东北师附、辽宁实验中第一次联合模考）椭圆12222yax的焦点在x轴上，右顶点A为抛物线xy162的焦点。（1）求椭圆C的方程；11（2）已知点)0,2(Q，若斜率为22的动直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，求的最小值QNQM。【思考】（1）抛物线xy162的焦点为)0,4(F，所以椭圆的长半轴4a,得解。（2）直线与椭圆相交问题。设),(),(2211yxNyxM，，则2121)2()2(yyxxQNQM，再设直线lmxy22的方程为：，则2212121212))(222(23)2()2(mxx