高中数学智库讲义(一次、二次、三次函数)

1一次函数智库题型方向题型（逻辑）结构代表例题解题方法一次函数绝对值型ykxb型T、函数2yxa的单调增区间是(1,)，求参数a的范围？T、ykxb函数的图象是V字型，顶点（最低点）坐标是(,0)bk，所以本题函数的最低点坐标是(,0)2a，根据图象可知：12a12ykxbkxc型T1、求函数2112yxx的值域和单调区间？T2、求函数2113yxx的值域和单调区间？12ykxbkxc型函数的统一处理手法都是根据两个零点对自变量x进行分类讨论（分三段），然后就转化为了分段函数问题。12ykxbkxc型：（1）12kk时，图象是倒梯形水槽有最小值，有增区间和减区间（2）12kk时，图象是扭曲水槽有最小值，有若干段增和减区间12ykxbkxc型：（1）12kk,图象是Z字型：有最大值和最小值，只有单增或单减区间（2）12kk，图象是扭曲Z字型没有最大最小值，是单增函数或是单减函数12ykxbkxc型T1.1求函数2112yxx的值域和单调区间？T1.2求函数1221yxx的值域和单调区间？T2.1求函数2113yxx的值域和单调区间？T2.2求函数1321yxx的值域和单调区间？2二次函数智库题型方向题型（逻辑）结构分类情况（三大类，四小类）闭区间[,]上二次函数的最值轴动区间定T、讨论区间[1,3]上2()(1)1fxmxmx的最值？轴定区间动T、讨论2()23fxxx在区间[,1]mm上的最值？二次方程根分布两根均小于（12xxk）两根均大于（12kxx）两根分别在两边（12xkx）两根全部在中间（1122kxxk）两根分别两区间（11223kxkxk）区间之内唯一根（12(,)kk内仅有一根）具体方法见下表：（开口向上情况）学生补足开口向下情况带参数的二次函数分类讨论依据点：（1）若2x含有参数，则需对参数分成=0、0、0三种情况讨论；（2）与0的关系（二次曲线与x轴的交点情况）（3）对称轴的位置2bxa（4）题目本身具体条件（如根的分布约束、两根大小关系、单调性等）重点提示一元二次方程中的韦达定理（根与系数关系）：一元二次方程20(0)axbxca，若0，则有根：12,xx，且有1212;bcxxxxaa34二次函数题库(1)题型方向题型（逻辑）结构解题方法带参数二次函数分析已知不等关系，求参数值T1(JS)函数2()fxxaxb()abR、的值域是[0,]，若关于x的不等式()fxc的解集为(m,m+6)，则实数c的值为？T1、观察函数解析式：二次项2x无参，那么函数图象形状固定，由2yx平移而来，又因为值域0,所以此抛物线图象状态如下图：再注意解集区间的特点：区间长为固定值6那么不管抛物线图象在水平哪个位置，水平距离是6的两对称点对应y值不变，因此可以把抛物线移回原点处解决此题，如下：已知一元二次方程根的分布，求参数值。T1、方程2(2)50xmxm的两根都大于2，求m范围？T2、方程2(2)50xmxm在（0,1）上有唯一根，求m范围？T2、方程2(2)50xmxm在（0,1）上至少一根，求m范围？（参照上面二次方程根分布表列出参数不等式组）已知单调区间的参数二次函数T1、2()(1)1fxxmx在区间[2,]上单调递增，求(1)f范围？T2\2()(1)1fxmxmx在区间[2,]上单调递减，求m范围？T3、2()(1)1fxmxmx在区间[2,]上单调增，求m范围？二次项2x有参数必须讨论其0,0,0三种情况单调情况讨论抓住对称轴的位置即可。没有指明单调趋势，就要把单增和单减两种情况都考虑到一元二次不等关系具体一元二次不等式（作图找解）已知一元二次不等式解集T1、二次函数2()fxaxbxc，且()0fx解集是(-2,0)，()-1fx最小值是，函数f(x)与g(x)图象关于原点对称，求（1）f(x)和g(x)解析式？（2）若()()()hxfxgx在区间[-1,1]上单增，求范围？二次函数()0fx解集是(-2,0)()fxx与轴的交点是(0,0)(-2,0)，所以可设()(2)fxaxx，然后根据其最小值是-1求得2()2fxxx，由原点对称关系求得2()2gxxx2()(1)2(1)hxxx，分类如此：①10；②10(11-11开口向上）（对称轴在左侧）③10(1111开口向下）（对称轴在右侧）（解上面参数分式不等式先“分式分离”到平移反比例形式，然后作图解之）c3-35二次函数题库(2)题型方向题型（逻辑）结构解题方法一元二次不等关系带参一元二次不等式恒成立问题T1、2()2,[1,]()fxxaxxfxa当时，恒成立，求参数a范围T2、[1,1]x，函数2()(4)42fxxaxa的值恒大于零，求参数a的范围？T3、[1,1]a，函数2()(4)42fxxaxa的值恒大于零，求自变量x的范围？对以上两题分离变量得：2(2)44xaxx对于T2，因为[1,1]x，244()2xxagxx然后求出()gx在区间[-1,1]上的最小值m，则am对于T3、因为x的范围不定，所以需要分三种情况建立分离变量不等式（x-2=0、x-20、x-20）然后由a得范围端点求出x的范围。具体由学生自己完成。T1、解法一、按照闭区间上函数最值问题思路分类讨论：建立参数a的不等式组：①min122()(1)aafxfa（对称轴在左）②min122()()2aaafxfa（对称轴在右）解法二、“移化0”处理不等式为()fxa=220xaxa，问题转化为在[1,]上()gx220xaxa恒，分情况讨论：机理同上。T2、本题属于闭区间上二次函数最值问题中的轴动区间定问题，所以分成三类甚至四类分析即可：外（左和右）、内（左和右）1aT3、此题是参数范围定了，求自变量范围，那么我们可以把x看作参数，a当作自变量，整理得：2()(2)44gaxaxx，()ga是一次函数形式，按照题目约束建立不等式组：(1)0(1)0gg代入解之即可x1或x3温馨提示对于这类(,)fxa或(,)fxa恒成立不等关系问题，处理技术有两类：（1）参自协同法。范围确定的作为自变量，范围求解的作为参数，然后根据函数单调性建立不等式组；（2）分离参数法。将不等关系转化为()()agxagx或形式，然后根据a或()gx（值域）的区间端点关系求解即可。具体解答见左面。以一次分式形式出现的一元二次不等式T、解不等式1021xx衍生：带参后就转化为上面题型了。解一次分式不等式要注意分母不为0的隐含限制和乘积形式中的二次项系数正负然后转化为乘积形式即可。本题等价于210(1)(21)0xxx，本题的乘积形式中二次项系数是-2，所以小于在两边。6三次函数智库知识说明解析式特点图象类型导2412bac=24(3)bac图象类型三次函数一般形式：32()fxaxbxcxd三次函数导函数2'()32fxaxbxc导函数（二次形式）导2412bac=24(3)bac处理手法：带参数三次函数32()fxaxbxcxd可看作是特殊三次函数2()()bcgxaxxxaa向上（下）平移d个单位。0导0导0导0导情况图象详细研究与x轴永远也只有一个交点与x轴有1个交点与x轴有2个交点与x轴有3个交点21()()axxxhxp其中：240hhp212()()axxxx切点位置是平方所得根123()()()axxxxxx当2130,xxx时，3()fxaxbx为奇函数2x2x7三次函数题型导图题型方向题型（逻辑）结构解题方法函数图象位置三次函数3x图象变换T函数23log,2()(1),2xxfxxx，且()fxk有两个不同实数根，求实数k的取值范围？具体分段函数，作图即可，2x部分的函数由3yx向右平移一单位形成，注意此分段函数连续链接。平移变换关系T1（FJ）32()69,,()()()0fxxxxabcabcfafbfc且，则以下结论正确的是（）①(0)(1)0ff；②(0)(1)0ff；③(3)(0)0ff；④(3)(0)0ffT2（CQ）3()3fxxx的图象的图象1C向右平移u个单位，再向下平移v个单位后得到图象2C。若对任意u0,曲线1C与2C至多只有一个交点，则v的最小值为（）T1、按照带常数三次函数处理思路：题目函数()fx可看作是函数2()(3)gxxx纵向平移所得：再求导得()gx的两个极值点分别是x=1和x=3,如右下图：根据条件可知：()gx向下平移得到()fx，而且不能平移过头，如图恰好从图上可明晰看到：(0)0,(1)0,(3)0fffT2、题中函数32()3(3)fxxxxx，是奇函数，其图象如下图：本题关键是要理清题意：u有很多种取值，每一个值对应一种平移对应（平移函数与原函数）要满足任意u0下“至多一个交点”的条件，必须找到最苛刻的条件v的最小值，（每个v范围左端点的最大值）本题是在很多个v取值区间中寻找左端点最大的情况——找交集如上图粗黑曲线的位置时，就是对v最苛刻的约束，此时v2(1)f4v.031