量子力学(曾谨言)二：一维势场中的粒子

Chap2一维势场中的粒子一维势场中的粒子2.1一维势场中粒子能量本证态的一般性质2.2方势阱2.2.1无限深方势阱离散谱（重点）2.2.2有限深对称方势阱（非重点）2.2.3方势阱的反射与透射（非重点）2.4一维谐振子（重点）§2.1一维势场中粒子能量本证态的一般性质xExxVdxdmxiEtxtxtxxVdxdmtxtiD)(2exp,,2,EquationdingeroSchrEquationdingeroSchr1.222222由定态薛定谔方程决定其中，对定态波函数和定态体系单粒子一..ˆ)1(.*EExxExHx量为方程的一个解，对应能也是则，对应能量为的一个解为设定理二xExxVdxdmxExxVdxdm**222222)(2)(2取复共轭)(,应本征态：一个本征值对同一个本征值；非简并简并：几个不同态对应为实解本征态无简并，则可取征值推论：若对应于某个本E为实。，即，则不妨取相位为实数xxxeccxcxccxxcxxxEi*22***0.,1:(3).束缚态：指粒子局限在有限空间中，在无限远处找到粒子的几率为0，能级是无简并的.宇称（parity）:1空间反演操作则PˆtrtrPrrP,,ˆ;ˆ2若,,,trtr则称波函数具有正(偶)宇称；,,,trtr若则称波函数具有负(奇)宇称；的解对应于能量也是方程则的解的对应于能量是，若即具有空间反演不变性，：设定理ExExExHxxVxVxV,)(3)2(§2.2方势阱§2.2.1无限深方势阱离散谱一维无限深方势阱：x0aV(x)axxaxxV,0,0,0xExxVdxdm)(2222能量本证方程：02222xExVmdxxd方程求解四步：1.列出各势域的一维薛定谔方程；2.求解（通解形式）；3.利用波函数标准化条件进行定解；4.定归一化系数.1.阱内：阱外：axxmEdxxd0,02222axxxExudxdmu,0,lim202220分析：在阱外的情况下，0x物理意义：势垒壁无限高，粒子不能透过势垒，即在阱壁与阱外找到粒子的概率为0.边界条件为：;000a所以，解方程的重点在阱内的情况。对定态薛定谔方程求解：2.求阱内波函数axx0,0,02222ExmEdxxd令2222,2mEkmEk即0222xkdxxdx的通解形式为：kxBkxAxcossin3.利用波函数标准化条件求解：...3,2,1,0sin0;000nnkakaAaB连续性：非简并3,2,1,2...3,2,1,2,22222nmanEEnmEkankn能量本证函数：axxaxxanAx或0,00,sin4.定归一化系数：【利用归一化条件】aAaAdxxanAdxxaa2121sin202202axxaxxanaxn或本证态为：0,00,sin2axxaxtiExanatxnn,0,00,expsin2,定态波函数为：ieexeanatxiitEinn2sinsin2),()1(驻波解：势阱内讨论：][212),()()(tExanitExaninnneeiatx沿x方向传播平面波沿-x方向传播平面波0vevempjxx0vevempjxx)(0)2(xEaxnn对应一个一个非简并的阱内粒子束缚在束缚态—第一激发态——基态—不连续能级是分立的22222221min222222423,2,12)()3(maEmaEEnnmanEn—微观粒子波动性表现—分立连续量子经典与经典比较020222minminmaEE082)(02222222mampmpEappx不确定关系xx的解节点：观察下图0)()4(个节点有激发态第个节点有第二激发态个节点有第一激发态波函数无节点外，基态，除kknknnnaa,12,31,2,10)处不连续在连续，axxxxbnn,0)()()'与经典一致几率分布,)nc122222222)1(,sin2,cos2)(3,2,1222),2(sin2)(3,2,12'0',0'0,'sin2)'(2'2,2,032)2,2(),0()5(nnnnnnnxananxanaxnmanEaxaaxanaxnmanEaxxaxxanaxaxxaxaxxVPaaa宇称偶数奇数或势阱§2.2.2有限深对称方势阱x0V(x)E2a2a0V—束缚态—定态薛定谔方程及其解)0(2,2,0)()1(.100VEaxVaxxV0])([2)(2222222xExVmdxxdxExxVdxdm2,2,)()(00)(,,2)(00)(,,2axBeaxAexBexAxxaxAexBxxaxxxxxxxBeAexxdxxdEVmxEVmdxxd0,)(20)(2)2(222020222得令阱外kxDkxCxxkdxxdmEkxmEdxxdaxcossin0,2022)3(2222222得令阱内必有确定宇称且束缚态—空间反演不变—)()()(ˆxVxVxVP2cos)axkxDxa偶宇称同上连续连续边界条件22sin'2cos222axkaDkeAkaDAeaxaa图见，令只讨论能量352202022222)2(tan222tanPamVmVaakakakE220222cot2cot2sin)amVkakaxkxCxb奇宇称§2.2.4方势垒的反射与透射axxaxVxV,0,00)(.10模型1x0E0V概率透射过去小得不太多，仍有一定比概率被反射大得不太多，仍有一定比量子观点：穿过势垒弹回去经典观点：0000VEVEVEVEaxxVEmdxdaxxxmEdxdVE0,0)(2,0,02.202222220axxdxdaxxxkdxdEVmmEk0,0,0,0)(22222222022，令区域无反射波axTaxTeSeaxBeAexReeaxFeEeaxeBeAxDeCexikxikxxxikxikxCikxikxxxikxikx,0,0,0,,0,''0,)(itirtrijjSjjRiSmkjiRmkjivimkiikmiixxmij2222**)2(2)(2透射系数反射系数)()1(1',0BARikBARxSR连续与、目的求ikaaaikaaaeikSeBeASeBeAeax)(',连续与—概率守恒—1])(41[])(41[4)(42212200210220222222222SRashVEVEREVEashVachkashkkST—粒子透过势垒的概率—的概率—粒子被势垒反弹回去—22SR)()(16)(16)21()(4121,1])(41[0)(220)(22200220022001022000EVamTeTeVEVEeVEVEeVEVETeashaEVEashVTEVmaEVmaaaa以及，势垒宽度灵敏地依赖粒子质量当)(020effecttunnelingSTVE—隧穿效应—有一定几率反射1'sin)''(4111'sin'')(2.322020akkkkkTakiashikashikEVmVE§2.2.5方势阱反射、透射与共振100212222000)1(4'sin1'sin)''(4112)(2'VEVEakakkkkkTmEkEVmkVV将3,2,1'23,2,1'10'sin)01,0)1,0)200nnannakTakcRTVbTVa共振透射回仍有一定几率被势阱弹分析：§2.3一维谐振子（波动力学中的解法）2221xmxV势能：22222212xmdxdmHHamilton量：定态薛定谔方程：xExxmdxdm22222212①化简上述方程：引入：0)()(222dd束缚态边条：0,2xxEmx2,②求解：件，舍去处发散，不满足边界条在其中221ex0222dxda).渐进解,时，当221222,0edxd方程带入，得Hermiteuuu0)(1)('2)(''取uex221b).一般解：uex221系数递推公式令nnnnnkkkkkkkkkkkkkkkannnaanannaakakkakauau)1)(2()1(20)1(2)1)(2(0)1(2)1()(')(220112211000)()4202102121222nnnnkkkkkkaaaaueaeuexc有限多项式无穷级数办法：物理解有限性讨论截成)()()()(2,1,012)1)(2()1(22212nnnnnnHeNHHermiteunnannna多项式——非零解)()1()()()()()2,1,0()21()22222221eddeHxHeNHeNEnnEdnnnnnxnnnnn能量本征函数能级均匀分布能量本征值函数能量本征值、能量本征-*2-2)()()(!2)(!21)(22mnnmnxnnnnnndxxxxHenxnNdxxN：求)(2)(2)