搜索
Chap1波函数与薛定谔方程§1.1波函数与薛定谔方程§1.1波函数的统计诠释1.1.1实物粒子波动性（微观粒子的波粒二相性）phhE==λν物质波减小增大λm1.1.2波粒二相性分析（1）二种错误解释1.波由粒子组成——波动性事由于大量电子分布于空间而形成的疏密波.电子干涉——电子间互作用2.粒子由波组成电子是波包：波包大小：电子大小波包速度：电子群速度许多平面波叠加充满整个空间，而电子有确定大小。1.1.3概率波多粒子体系波函数（1）经典粒子（类比子弹）)()()(21)(2121xxxxxxρρρρρρ+=）（全开开）（开分布函数（2）声波I—声强2222221111)(I)(I2)(I)(I1xhexhxxhexhxtiti==ωω）（单开）（单开)()()()()()()()()]()([)(2*1*21222122121xhxhxhxhxhxhxhxhexhxhxhti+++=++=总ω(3)微粒衍射实验1.入射电子流大，很快显示衍射图样2.入射电子流小，开始时显示电子的微粒性，长时间——衍射图样3.波函数——衍射波波幅“粒子观点”——极大值——电子多“波动观点”——极大值——波强大)(rψ2)(rψrr——几率密度——在点处，体积元dxdydz中找到粒子的几率——电子出现在点附近几率大小——描述微观粒子的状态（几率波幅）)()(2rrψψdxdydzrr22)()(ψψ(4)波函数性质1.几率和几率密度�在t时刻，点，体积元内找到由波函数描写粒子的几率�在t时刻，点，单位体积内找到粒子几率几率密度：�在体积V内，t时刻找到粒子几率rdxdydzd=τ),(trψτψdtrctrdw2),(),(=r2),(),(trctrwψ=τψτdtrcdtrwtwvv2),(),()(∫∫==2.平方可积自由粒子τψτψdtrcdtrc22),(11),(∫∫∞∞==∞===∫∫∞∞−ττϕψωdAdtxAetxtkxi22)(),(),(3.归一化函数所描述状态的相对几率是相同的——描述同一状态归一化常数：),(),(trctrψψ与没有归一化),(trψ1),(1),(22=⇒=∫∫∞∞τψτψdtrAAdtr),(1),(1),(treAtrAtriψψψδ→→•例：若求其归一化系数及相关几率归一化系数tiaretrωψ−−=2),(32302200202222228111),(1822sinsinsin),(),(aAdtrAadrerredddrddrdreeddrdrtrdtrarartiarπτψππθϕθϕθθϕθθψτψππω===×====∫∫∫∫∫∫∫∫∞−∞−∞∞−−∞•在中几率•对drrr+00～dreareardrreaddararar000000323222003282281−−−=⋅×=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∫∫πππθϕππ进行积分与ϕrθθθθππθθπϕπddaaddreardarsin21sin822sin813330220=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∞∫∫4.平面波归一化Ⅰ.函数定义且点电荷q位于o点δ⎩⎨⎧=∞≠=−0000)(xxxxxxδ∫∫∞+∞−+−=−=−εεδδ00001)()(xxdxxxdxxxqdxxxqxee==∫)()()(ρδρ等价定义：对在领域连续的任何函数f(x)筛选器，仅让过去注：i）三维且0xx=∫∞+∞−=−)()()(00xfdxxxxfδ)(0xx−δ)(0)(xfxf⎯→⎯⎯⎯→⎯)(0xx−δ)(0xf⎩⎨⎧=∞≠==000)()()()(rrzyxrδδδδ1=∫∫∫dxdydzr全）（δⅡ性质：Ⅲ函数常用表达式[])()(21)22(.)(1)(.)()()()(0)(.)()(.axaxaaxdxaaxcaxafaxxfxxbxxa−++=−=−=−==−δδδδδδδδδδδxxxbpderdpedkexarpipxipkikxπαδπδππδαsin)(.)2(12121)(.lim3∞→⋅∞+∞−=∞+∞−==⎯⎯→⎯=∫∫∫∫∫ℏℏℏℏℏ）（三维：（5）多粒子波函数Ⅰ二个粒子波函数——几率密度——粒子1处于附近，粒子2位于附近的概率Ⅱfor1D：3D：),(21rr��ψ2),(21rr��ψ21221),(rdrdrr����ψ1r�2r�),(*2ψψτψψτψ==∫∫dd全全∫∫∞+∞−=dxd全τ∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−∞+∞−=dxdydzd全τ§1.1.4动量几率密度1.傅里叶变换(1)定义：设f(x)是x的某个函数，若——g(k)称为f(x)的傅里叶变换2.二个定理(1)如果则(2)∫∞+∞−=dkekgxfikx)(21)(π∫∫∞+∞−−∞+∞−==dxexfkgdkekgxfikxikx)(21)()(21)(ππ∫∫∞+∞−∞+∞−=dkkgdxxf22)()(3.三维傅氏变换定义：且kdkgrdrfrderfkgrfkgzkykxkrkkdekgrfrrfrkizyxrki3232323323)()()(21)()(~)()(21)()(∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==++=⋅=⋅−⋅）（的傅氏变换）（的函数是设ππ4.动量几率分布For自由粒子For一般粒子——许多单色平面波叠加)()(2/3)2(1ωνλπψℏℏℏℏ====−⋅=hEkhpEtrpieψ二者描述同一量子态一一对应的傅氏变换是唯一确定rderpprrppdepreprrpirpiprpi3-2/332/32/3)()2(1)()()()()()()2(1)()2(1)()(∫∫∫∫∫∫∑⋅⋅⋅=⎯⎯⎯→←==ℏℏℏℏℏℏψπϕϕψψϕϕπψπϕψ•——以为自变量，坐标表象波函数•——以为自变量，动量表象波函数•——粒子在坐标空间的几率密度•——粒子动量分布几率密度•——粒子动量在范围内几率r)(rψ)(pϕ2)(r�ψ2)(p�ϕpdp32)(�ϕ),(pdpp���+1)()(3232==∫∫∫∫∫∫pdprdr��ϕψ证明：∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−−⋅∞+∞−−⋅⋅−⋅−∞+∞−==−=====rdrrrrdrrrrrrddrrpderrdderrrrdpddrderprderppdpprrpirrpirpirpi32*3*33*3)'(3333)'(3*3333*23*3'233*)()()()'()()'(')'()(])2(1)2(1[')2(1)'()(')()2(1)(')'()2(1)()()(���������ℏℏℏ���ℏ��ℏ���ℏ���ℏ���ℏ��ℏ��ψψψψψδψψπππψψψπϕψπϕϕϕ§1.1.5不确定度关系微观粒子用描写状态经典粒子用来描述1.三个例子1）一维例子具有确定动量动量不确定度平面波粒子在空间各点几率相同。粒子位置不确定度位置完全不确定)(r�ψpr��、0=∆p1)()(2000==xexpxpip�ℏ�ψψ∞=∆x2）设一维粒子具有确定位置波函数其傅氏变换粒子动量取各种值概率相同①微观粒子坐标与动量不能同时具有确定值②经典3）见书本11业例30.0=∆xx)()(00xxxx−=δψℏℏℏℏ0021)(21)(pxipxixedxexp−−==∫πψπϕℏπϕ21)(2=p0=∆p2ℏ≥∆⋅∆xpx00≥∆⋅∆−pxℏ§1.1.6力学量平均值与算符引进1.力学量平均值当可能值为离散值，一个物理量平均值等于物理量的各种可能值乘上相应几率求解①位置（坐标）x的平均值a）经典xxxx333355556666次数212几率0.40.20.46.464.052.034.0=×+×+×=xb）量子1D测x概率3D测x归一化2)(xψdxxxxx2)(ψ∫==〉〈)(r�ψ))(),(()()()(3*32rxrxrdrxrrdrxxx�����ψψψψψ===〉〈=∫∫∞+∞−∞+∞−②势能的平均值、③动量平均值测得粒子动量在范围内几率为)(rV�))()(),(()()(2rrVrrVrV�����ψψψ==∫∫∫p�)(r�ψ),(pdpp���+pdp32)(�ϕ∫∫∫∫⋅−==rderppdppprpi3232)()2(1)()(ℏ���ℏ�����ψπϕϕzzpypxpiyzpypxpixzpypxpizzpypxpizyzpypxpiyxzpypxpixrpirpirpirpieezieeyieexieepeepeepeieppeprprddpprderpdppppdpzyxzyxzyxzyxzyxzyx�ℏ�ℏ�ℏ���ℏ���ℏ����ℏ����ℏℏℏℏℏℏℏ��ℏ��ℏ��ℏ��++++++++++++⋅⋅∞+∞−∞+∞−⋅∞+∞−∞+∞−⋅∞+∞−∂∂−∂∂−∂∂−=++∇−≡===∫∫∫∫∫)()2(1)()(])()2(1[)()(23*333*233*3ϕπψϕψπϕϕ))(),(()())((])()2(1)[)(()()()2(1)(*3323*3233*3rirrirrdeppdirrdpeipdrrdrpirpi�ℏ��ℏ��ℏℏ��ℏℏ�ℏ��ℏ��ψψψψϕπψϕπψ∇−=∇−=∇−=∇−=∫∫∫∫∫∞+∞−⋅∞+∞−⋅∞+∞−zyxezfeyfexfzyxf���∂∂+∂∂+∂∂=∇),,(gradient）梯度（2.力学量算符1.算符：作用在一个函数得到另一个函数的运算符号2.力学量算符（1）动量算符如FvuFˆˆ=∫∫====dxFvdxudxdFvudxdˆˆ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−=∂∂−=∂∂−=∇−=zipyipxipipzyxℏℏℏℏ�ˆˆˆˆ（2）物理量对应算符坐标位置动量哈密顿量一般力学量),,(zyxr�),,(zyxr�),,(zyxpppp�∇−ℏi)(2)(22rVmpprVmpH����+⋅=+=)(2ˆ22rVmH�ℏ+∇−=),(prFF��=),(ˆ∇−=ℏ�irFF例：角动量角动量算符xyzzxyyzxxyzxyzpypxLpxpzLpzpyLkpypxjpxpzipzpyzizkyixiyxjiprLˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(ˆˆˆ−=−=−=−+−+−=∂∂−∂∂−∂∂−=×=���ℏ�ℏℏ�����xyzzxyyzxxyzxyzzyxpypxLpxpzLpzpyLkypxpjxpzpizpyppzkppyxjiprzLˆˆˆˆˆˆ)()()(−=−=−=−+−+−==×=���������3.本征方程、本征值与本征函数——本征方程相应本征值的本征函数相对的本征值例：•有一系列，不连续，有分立谱•有一系列，连续，有连续谱λψψ=FˆFˆλFˆψxxeedxd=22λλλλ假设：每一个物理量A都和一个算符相对应且力学量平均值1DAˆrdrArrArA3*)(ˆ)())(ˆ),((∫∞+∞−==����ψψψψdxxAxxAxA∫∞+∞−==)(ˆ)())(ˆ),((*ψψψψ§1.1.7统计诠释对波函数提出要求几率密度——2)()(rr��ψψ•单值•有限•连续•平方可积§1.2.1Schrödinger方程§1.2.1Schrödinger方程的建立1.运动方程经典力学：质点的态运动方程量子力学：微观粒子态运动方程Schrödinger方程),(pr��dtpddtxdmF���==22),(tr�ψ2.Schrödinger方程建立自由粒子同理：ψψψψψψψψψψψψψψψ222222222222222)(),(ℏℏℏℏℏℏℏ���ℏppzpypxipxtiEiEtAetrzyxxEtrpi−=∇⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫−=∂∂−=∂∂−=∂∂⇒=∂∂∂∂=⇒−=∂∂=−⋅ 自由粒子Schrödinger方程ψψψψ2222222∇−===∂∂=mmpEtimpEℏℏ∵ψψψψ22222ˆ22∇−===mEmpEmpEℏ222ˆˆˆ∇−=∂∂=∇−=mTtiEipℏℏℏ一般粒子： 一般粒子Schrödinger方程注：（1）量子力学一个基本假设（2）其得出结论均被实验所