量子力学-曾谨言-第五版-第1章序言-知识点

东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿作者：张宏标1第一章量子力学的历史渊源§1.1Planck的能量子假说经典物理学的成就到19世纪末，已经建立了完整的经典物理学理论：(1)、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)，(2)、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的波动理论、电磁现象的规律)；(3)、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量微观粒子的热现象等）。这些理论能令人满意地解释当时所常见的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正。经典物理学所遇到的问题(1)、黑体辐射现象，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的稳定性；(5)、固体的低温比热。一、黑体辐射的微粒性1、黑体辐射的几个物理量黑体：所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用(,)ET表示。所以在t时间，从面积S上发射出频率在范围内的能量表示为：(,)ETtS因此，(,)ET的量纲为：22=1×能量焦耳米秒米秒。可以证明：辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系(,)(,)4cEvTvT，（(,)vT的单位为3焦耳秒米）。吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额，用(,)AT表示。G.Kirchhoff（基尔霍夫）证明：东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿作者：张宏标2对任何一个物体，辐射本领(,)EvT与吸收率(,)AT之比是一个普适的函数，即(,)(,)(,)EvTfTAvT（f与组成物体的物质无关）。对于黑体的吸收率(,)1AvT，故其辐射本领(,)(,)ETfT（等于普适函数与物质无关）。所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。辐射本领也可以用(,)ET描述,由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：00(,)(,)EvTdvETd由于c知2cdd代入上式得：020(,)(,)cEvTdETd322(,)(,)(,)(,)()EvTETETEvTcc焦耳米秒或2、黑体的辐射本领黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。实验测得的辐射曲线满足下列定律：(i)、斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-BoltzmannLaw）黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度4T成正比，即544842322()5.6710(Ksm)15BkRTTJhc，其中()(,)RTETd为黑体辐射能量。这个定理是斯托藩1879年实验测定的，而1884年玻尔兹曼从热力学理论推导出来。(ii)、Wien位移定律（WienDisplacementLaw）维恩发现，对于一个确定的温度0T，相应地有一波长0使00(,)ET达到极大值，而00T常数。即东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿作者：张宏标330011225.110(Km)TTT这说明随着温度升高，热辐射峰值向短波高频方向移动。温度越高，波长越短的光(即绿光和蓝光)越多；温度越低，波长越长的光(即红光)越多。3、经典物理学的缺陷利用经典物理学理论推导出的理论公式不能完全地符合实验，展现出经典物理学理论的局限性。(i)、黑体辐射谱的维恩（Wien）经验公式：维恩(1894)根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领231(,)cvTEvTcve其中2122Bchcchk，而-23oJK1.3810Bk是玻尔兹曼常数。维恩公式在高频率(短波段)与实验符合，但在中、低频率（长波段）区，特别是低频率区与实验偏离很大。(ii)、瑞利-金斯（Rayleigh-Jeans）公式：瑞利(1900)根据经典电动力学及金斯(1905)由经典统计力学的能均分定理严格得到黑体辐射本领公式：238(,)BvEvTkTc(,)EvT仅当频率足够低（或长波段），温度足够高（即110oK10SvT）时，符合（即BkThv）实验曲线。但在频率v很高紫外区域（或很小的短波段）时，(,)EvTd，即著名“紫外发散灾难”。这两个公式并不完全符合实验结果，但理论上给出的结论是确切无疑的。总之，用经典物理学理论解释黑体辐射谱的实验规律完全失败。二、固体低温比热根据经典理论，如一个分子有n个原子，而每个原子有3个自由度。对于1摩尔该分子固体有0N个分子（2306.0210Nmol称为阿伏加德罗常数），故有03nN个自由度。所以，固体定容比热为：033VBVECNnknRT，其中(Kmol)8.314JoR是气体常数。称为能均分定理（Dulog–Relit经验规律）。东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿作者：张宏标4实验发现，对单原子固体，在室温下vConstantC符合能均分定理；但在低温下，3v0CT，因而这个实验结果与经典理论不符。如何解决这些问题呢？在经典物理学框架下，解释黑体辐射定律的多次失败后，物理学家逐渐地认识到必须引入一个新的理论。三、Planck假说（1900）1、普朗克公式1900/10/19普朗克在柏林物理学会会议上公布了他通过实验数据，采用数学插值法得到的公式：3381()1BhkThddce此公式与实验曲线符合得相当好。1900/12/14普朗克又在柏林物理学会上给他的公式以量子说明，这就是量子论的生日。2、普朗克的“能量子”假设频率为的电磁辐射的能量以h为单位（h是Planck常数）不连续地变化。h称为能量子或光量子。0,1,2,nEnhvnn式中346.62610h焦耳秒或3421.054510h焦耳秒。注意：能量不连续的概念与经典物理学中能量是连续的完全不相容的！利用普朗克假设求普朗克公式如下：辐射的平均能量可如此计算得到：在经典物理学中，在EEdE区间内,经典的能量几率分布:()()0BBEkTEkTedEedE（玻尔兹曼几率分布），则对于连续分布的辐射平均能量为()()()000()()00BBBBBEkTEkTEkTBBEkTEkTkTEeedEEedEEkTedEedE；而对于普朗克假设下的能量分布几率，则为()()0nBnBEkTEkTnee，故分立的平均辐射能量为东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿作者：张宏标51()()0001()()0002()1(1)(1)(1)(1)111nBBBnBBBnyyEkThnhkTynkTnnnyEkTnhkTnynnnyyyhkTyyyddheeEenhedydyEheeeeeehehhheeee。上式计算中取yex并用到幂级数展开公式：011nnxx。因此，用电动力学和统计力学导出的Rayleigh-Jeans公式：222(,)BvEvTkTc应改为3()221(,)1BhvkThvEvTce这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合。由辐射本领与能量密度的关系(,)(,)4cEvTvT知，普朗克公式：3/()381()1BhkThddce,其中()d是表示黑体辐射的频率在d内的空间能量密度、c—光速、Bk—玻尔兹曼常数、T—绝对温度。Planck公式与实验完全符合。对普朗克公式进行下列讨论:①极限情况：东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿作者：张宏标6当BkThv（高频区）：23()31122222(,),BhvkTcvTBhvhhEvTecvecccck,即Wien公式;当BkThv（低频区）：32()22212(,)1BBhvkThvEvTkTcec,即Rayleigh-Jeans公式。②斯托藩-玻尔兹曼定律4331()2244342323411212()(,)(1)12216BxBhkTBnxBnnkThhRTETddxedxcechkTkxedxTchchn③维恩位移定律2232()()252121(,)(,)11BBhkThckThhcETETcccee对于一个固定的温度值0T,求导,dETd：0()22()()65251'(,)011BBBhckThckThckTThcehckTETee固定从而有()200150.289810(K)BhckTBhceTmkT。④固体的低温定容比热（详细见固体物理学（黄昆著）P122-130）由总辐射能量密度（单位：3焦耳米）545444333338442()(,)(,)1515BBkkWTTdETdTTcchchc(横波2所受)可推出固体中原子振动能量密度为544333342115BTLkTchuu，其中Tu和Lu分别为固体中的横向声速和纵向声速。低温下，3VCT。东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿作者：张宏标7该公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离的2倍，即22uaua），而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽略（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽略，所以这样推出的公式只适用于低温）。§1.2Einstein的光子说一、爱因斯坦“光量子”假说(1905)1、光电效应现象[1887赫兹(Hertz)]光电效应的主要现象：当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特点）：A、发射光电子依赖于频率，而与光强度无关。要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低频率min。B、当照射光的频率min时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。这从经典物理学角度是非常难以理解的，因为光的能量是正比于强度而与频率无关。因此认为光波强度增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。所以，经典理论与实验绝然相反。2、Einstein(1905)的“光量子”假设:Einstein（1905）创立了狭义相对论，并在这年将Planck“能量子”假设推广为“光量子”的概念。(i)、“光量子”的概念：一束单色光由辐射能量大小为hv的光量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量hv。(ii)、光子的动量与波长的关系：phch。光子的静止质量00m，根据狭义相对论的光的能量-动量关系：22422220Emcpcpc；又由于Eh,所以phch（c是光的波长）。对解释光电效应实验如下：东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿作者：张宏标8电子要飞离金属，必须克服吸引而做功0W（逸出功），所以飞出光电子电子的动能Ke:KhWe0,0W电子在金属中的脱出功由于电子吸引两个光量子的几率几乎为0，故要想飞离金属，则至少0eK；min0hvW，即有一最低频率。而0mineKhvWhvv。我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量除以频率v为一个常数，即hv常数而这个常数h与光