量子力学习公式概念和习题

1量子力学习题课——早期量子论2基本概念1.单色辐出度：2.辐出度：0()()dMTMT3.德布罗意波：单位时间内从热力学温度为T的物体单位表面积发出的波长在λ附近单位波长范围内的电磁波的能量，用Mλ(T)表示。单位时间内从热力学温度为T的物体单位表面辐射的各波长电磁波的能量总和。与实物粒子相联系的波，又称为物质波或概率波4.黑体：任何温度下对任何波长的光的吸收比恒等于1的物体31.斯特藩-玻尔兹曼定律：(黑体）40()MTTmTb2.维恩位移定律：m辐出度峰值对应波长3.普朗克公式及普朗克能量子假说：2521()1hckThcMTe基本规律一.黑体辐射基本规律3022()1hkThMTce4二.光电效应光子的波粒二象性212hmAvA金属中电子的逸出功00UAhK红限频率（截止频率）光电效应的爱因斯坦方程光子Ehhp截止电势差212cmeUmv0ceUeKeU截止电压INhheK0AeU5三.康普顿效应1.波长改变量与散射物质无关2001cos2sin2chmc物理本质：入射光子与自由电子的完全弹性碰撞能量守恒：2200hmchmc动量守恒：00hhnnmccv式中康普顿波长：c=h/m0c=0.0024nm.2.原子量较小的物质康普顿效应明显推导过程要清晰！0221/mmvc6四.玻尔的氢原子理论nmhEE3）轨道角动量量子化假设2hLrmvnn2）跃迁条件1.玻尔的量子理论1）定态假设2.玻尔的氢原子理论结果121nEEn21nrnr113.6eVE10.0529nmr玻尔半径基态能量74.记住几个重要的结论•证明汞原子吸收电子的能量是不连续的实验是弗兰克-赫兹实验•玻尔氢原子理论的成功之处提出定态假设和能级跃迁决定辐射频率，是现代量子力学的重要概念3.氢原子谱线22111()mnEERhcmn8五.德布罗意物质波假设2.德布罗意关系式：1.德布罗意假设：2Emchhhhpmv实物粒子具有波粒二象性3.德布罗意波的统计解释：在某处德布罗意波的强度与粒子在该处附近出现的概率成正比9六.不确定性关系粒子位置和动量之间的不确定关系：2xxp物理意义:(1)微观粒子位置和动量不可能同时精确测定(2)微观粒子不可能静止─零点能的存在(3)给出了宏观物理与微观物理的分界线─h2Et粒子能量和时间之间的不确定关系：xxpxxph10量子力学习题课——量子力学11一.量子力学基本原理之一——波函数微观粒子的运动状态可以用波函数完全描述。2,,,rtrtrt表示t时刻,微观粒子在空间点出现的相对概率密度。r2)要求2,tr单值3)波函数的连续性4)粒子在空间各点的概率的总和为1----波函数归一化条件1)空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值12二.量子力学基本原理之二——薛定谔方程22(,)[(,)](,)2irtUrtrttm（2）其解波函数是一个复函数。只有其模方才有直接的物理意义tr,（1）它的解满足态的叠加原理若和是薛定谔方程的解，),(2tr),(1tr则也是薛定谔方程的解。),(),(2211trctrc（3）它是非相对论形式的方程。定态薛定谔方程132sin(0)nnxxxaaa0(0,)nxxxa本征函数：本征值：,...)2,1(22222nnmaEn1.一维无限深方势阱0(0)()(0,)xaUxxxa143.线性谐振子mkkxxmxU,2121222零点能(基态能量)为:210E1,0,1,2,32Enn能量本征值和零点能2.方势垒的穿透隧道效应•隧道效应是微观粒子波动性的体现•已完全被实验证实,并制成扫描隧道显微镜（STM)15三.量子力学基本原理之三—力学量算符1.量子力学中力学量为什么要用算符代替？由于很多力学量中既有“坐标”，又有“动量”，必须统一在同一表象中计算其平均值。2.给定力学量，能够写出其对应的算符常用算符ˆ[]piijkixyz(能量算符)动量算符动能算符2222222()2mxyz哈密顿算符222ˆˆ()()22pHUrUrmm2ˆˆ2pTm222m16角动量算符ˆˆLrpirˆ()xLiyzzyˆ()yLizxxzˆ()zLixyyx2222ˆˆˆˆxyzLLLLijkixyzxyz位置算符ˆrr17其平均值()nrˆF的本征方程ˆ()()nnnFrr和本征值n可求得本征函数在量子力学中，力学量用一个算符表示，通过ˆF1.当体系处在n态时，力学量有确定值，即本征值n2.当体系处在叠加态时，()()nnnrCr力学量一般没有确定值，2nnnFC2nC表示粒子处在的概率n18基本对易关系[,]0xyˆ[,]0yxpˆ[,]xxpiˆ[,]0zxpˆˆ[,]0xyppˆˆˆ[,]yzxLLiLhˆˆˆ[,]zxyLLiLh不对易，不能同时具有确定值ˆˆˆ,,xyzLLL0ˆ,ˆ2xLL0ˆ,ˆ2yLL0ˆ,ˆ2zLL2ˆL因而分别和同时有确定值。ˆˆˆ,,xyzLLLCABBABAˆˆˆˆˆˆ,ˆ算符和的对易式AˆBˆ0ˆC0ˆCAˆBˆ和相互对易A,B同时有确定值A,B不能同时有确定值和相互不对易AˆˆB19四.量子力学中的氢原子问题1、能量量子化和主量子数式中n称为主量子数.n=1,2,3,…422220132nmeEn2、角动量量子化和角量子数)1(llL式中l称为角量子数或副量子数.0,1,2,,(1)ln3、角动量空间量子化和磁量子数lzmL式中ml称为磁量子数.lml2,1,0角动量在空间的取向只有(2l+1)种可能。20施特恩—盖拉赫实验乌伦贝克和高斯密特假设--电子自旋假设自旋磁量子数21sm4、电子自旋电子自旋角动量在外磁场方向上的分量zsSm自旋角动量大小3(1)4Sss自旋量子数s=1/25、原子的电子壳层结构主量子数：n=1,2,3,4,…K,L,M,N最大电子数：2n2角量子数：l=0,1,2,3,…s,p,d,f最大电子数：2(2l+1)21四个量子数(1)主量子数n大体上确定原子中电子的能量(2)角量子数l确定电子的轨道角动量(3)磁量子数ml确定轨道角动量在外磁场方向上的分量(4)自旋磁量子数ms确定自旋角动量在外磁场方向上的分量电子以四个量子数为标志的可能状态数分布如下：①n,l,ml相同，但ms不同的可能状态有两个。③n,相同，但l,ml，ms不同的状态有1202(21)2nlln个，组成一个壳层。②n,l,相同，但ml，ms不同的可能状态有2(2l+1)个，组成一个次壳层。221）全同粒子系四.量子力学基本原理之四——全同粒子体系全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交换位置，不引起体系物理状态的改变。——全同性原理全同粒子系的特征：全同粒子系波函数具有的交换对称性。全同粒子：23在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，亦即不可能具有完全相同的四个量子数。a.泡利不相容原理原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级b.能量最小原理2）原子中的电子分布可用（n+0.7l)的值确定能级的高低。能级能量高低次序如下：1,2,2,3,34,3,.......sdsspsp24基本问题11.热辐射问题4.氢原子中谱线波长、能级跃迁频率、电离能及定态能级的计算2.光电效应问题3.康普顿效应问题5.德布罗意波长的计算6.测不准关系的简单应用25(1)定态薛定谔方程对一维问题的简单应用基本问题2一维无限深势阱薛定谔方程解的物理意义谐振子的能量隧道效应及扫描隧道显微镜一维定态问题解所得结果的量子图象与经典图像区别(2)四个量子数及其物理意义(4)电子自旋及施特恩-格拉赫实验(5)原子的电子壳层结构，泡利不相容原理，能量最低原理(3)量子力学中的算符26例1:实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75ev的光子.(1)试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级?(2)受激发的氢原子向低能级跃迁时,可能发出哪几条谱线?定性画出能级图以及跃迁图.(3)在该能级上电子轨道半径，电离能是多少？(4)与该能态对应的极限波长是多少？27例2.H2分子中原子的振动相当于一个谐振子，其劲度系数为k=1.13×103N/m，质量是m=1.67×10-27kg。此分子的能量本征值（以eV为单位）多大？当此谐振子由某一激发态跃迁到相邻的下一激发态时，所放出的光子的能量和波长各是多少？28例3.戴维孙-革末实验装置如图，自热阴极K发出的电子束经U=500伏的电势差加速后投射到某晶体上，在掠射角=20时，测得电流强度出现第二次极大值，试计算电子射线的德布罗意波长及晶体的晶格常数(电子质量9.11×10-31kg)。U29例4.粒子在一维无限深势井中运动,其波函数为2sin000nnxxxaaaxxa或计算动量和动能的平均值。30例5：证明：一个质量m的粒子在边长为a的正立方盒子内运动时，它的最小可能能量（零点能）为2min23E8ma31例6.（1）试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比为20()1CDEE式中Eo和E分别为粒子的静能和运动粒子的总量。（2）试问：当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长？