量子力学小结

SummaryofQuantumMechanics第一章绪论（小结）1、经典物理的困难黑体辐射，光电效应，原子光谱线系2、旧量子论1普朗克能量子论2爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性；光电效应的规律；2012mvhW光子能量动量关系：E=hn=wP=hln=k3玻尔的原子理论量子化条件：pdqnh定态的假设、频率条件：||nmEEh3、微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系。4、量子力学的建立物质波——薛定谔方程——非相对论量子力学——相对论量子力学——量子场论E=hn=wP=hln=k第二章波函数和薛定谔方程（小结）1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。2．波函数统计解释：若粒子的状态用描写，表示在t时刻，空间处体积元内找到粒子的几率（设是归一化的）。tr,dd2*rdnnnc3．态叠加原理：设是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加：n,,也是体系的一个可能状态。若体系处于态，我们讲体系部分处于态。nnncn,,4．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：),(trVti当势场不显含时，其解是定态解：)(rVt)(,)(),(rertrntEinnn满足定态薛定谔方程：nnnEH),(222trVH其中定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。5．波函数的归一化条件：1d2（全）相对几率分布：)(~)(rcr波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。6．波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。7．几率流密度**ij与几率密度*满足连续性方程：jt8．一维无限深方势阱axxaxxV或0,0,0)(本征值,,,,nanEn本征函数axxaxaxnan或,,sin若axaxxV,,0)(则本征值anEn本征函数axanaxanan,0x,...3,2,1,)(2sin19．三维无限深方势阱其余,0,0,0,0czbyaxV可以用分离变量法求解得到本征值,,,,nnncnbnanEnnn、、本征函数阱外阱内,,sinsinsin)(cxnbxnaxnabcrnnn10．一维谐振子xV本征值,,,nnEn，本征函数,!nNnn11、势垒贯穿隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。2212()()xnnnxNeHx第三章量子力学中的力学量（小结）1.量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。2.厄米算符A的定义：厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备等条件。rdArdA**)(3．力学量的测量值：在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值；在非本征态中测量F，可能值是F的本征值。将用算符F的正交归一的本征函数展开：则在态中测量力学量F得到结果为的几率为，得到结果在范围内的几率为:。()x()nx()()()nnnxcxcxdx()xn2ncddcˆFfn(x)=lnfn(x)ˆFfl(x)=qlfl(x)()()()()nncxxdxcxxdx力学量的平均值是:或ˆ()()FxFxdxdccFnnn4．连续谱的本征函数可以归一化为函数。5．简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。简并度：算符的属于本征值的线性无关的本征函数有f个，我们称的第n个本征值是f度简并的。6．动量算符的本征函数(即自由粒子波函数)正交归一性nˆFˆFnrpipe)()()()(*ppdrrpp7．角动量分量本征函数的本征值iLz,,,,)(meimmmLzzzL8．有共同的本征函数—球谐函数：zLL,,lmYlmlmllmlNePNYlmimmllmmlm,,,,;,,,,!!!)(cos)(,,)(,lmlmYllYL,,lmlmzYmYL9．中心力场中，定态薛定谔方程选为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为ErVrLrrr)(zLLH,,,,,,nnaeneEEn玻尔半径）(22ea10．氢原子),()(),,(lmnlnlmYrRr类氢离子nZeEn,3,2,1n1,,2,1,0nllm,,2,1,0),()(),,(lmnlnlmYrRr11．守恒力学量的定义：若（即力学量的平均值不随时间变化），则称为守恒量。力学量的平均值随时间的变化满足因而力学量为守恒量的条件为：且dtFdFFFtFHFidtFd],[],[HF0Ft12．宇称算符宇称算符的定义：13．对易式定义：14．对易式满足的基本恒等式：（Jacobi恒等式）)()(ˆrrPBAABBA,BCACBACABCBABABBCACABACBA,,,,,,,,,BACACBCBA,,,,,,15．一些重要的对易关系：ipxppxx,,0,,0,LpxiLpxL,zyxzyxzyxJiJJsissLiLL,,,,,0,,0,,0,222JJssLL16．若算符对易，即，则和有共同的本征函数系。在和的共同的本征函数表示的态中测量，都有确定值。若算符不对易，即，则必有简记为特别地，BA、0],[BAABBABA、BA、0],[BA],[21)()(22BABA],[21BABA2xpx第四章态和力学量的表象（小结）1．表象是以的本征函数系为基底的表象，在这个表象中，有QQxunxuQxuQnnnxutann)(,,)(,)(,***tatatatatatann算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是:选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。平均值公式是：归一化条件是：本征值方程是：2．在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换满足；态的变换是；算符的变换是。幺正变换不改变算符的本征值。3．量子态可用狄拉克符号右矢或左矢表示狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且运算简洁。dxFuuFmnnm*FFIF1SSaSbFSSFAA基矢的封闭性：坐标表象狄拉克符号,,IxxdxInnn11)()()8()()()7()()()6()()()5()()()4()()()3(),(),()2(),(),()1(****dxxxFFdxxFxFncdxxxucncxucxnmdxxuxunEnHxuExuHHtitxHtxtiFtxtxFnnnnnnnnmnmnnmnnnn4．粒子占有数表象以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿Ｈ的本征态为基矢的表象。n)ˆˆ(221pixa)ˆˆ(221pixa2121NaaHaaN1nnna11nnna粒子数算符：湮灭算符：产生算符：例２.Py=12p()3/2eip×r自由粒子动量算符的本征函数：¢Py(r)=C(P)Pyò(r)d3PC(P)=¢Py(r)P*y(r)dtò求自由粒子动量算符具有确定本征值的本征函数在动量自身表象中的形式。ˆP¢P=d(P'-P)动量算符具有确定本征值的本征函数:ˆP¢P可见，动量算符具有确定本征动量值的本征函数在动量自身表象中是以动量为变量的δ函数。¢PP解：动量算符的本征方程：ˆPd(P-¢P)=¢Pd(P-¢P)一般结论:力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一δ函数。在坐标表象中，坐标算符的本征函数：ˆx同样)'(')'(ˆxxxxxx本征值方程:例：设一维粒子Hamilton①求x表象中x,p和H的“矩阵元”，②求p表象中x,p和H的“矩阵元”。xVmpH22ux'x()=dx-x'()解：①在表象中，的本征函数:ˆxxH()x'x=-22md2dx'2dx'-x()+Vx'()dx'-x()pppp②在表象中，算符的本征函数:ˆpp第五章微扰理论（小结）1．定态微扰理论适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求的本征值和本征函数已知或较易计算，另一方面又要求把H的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰比较小，以保证微扰计算收敛较快，即0H0HH1)0()0(nknkEEHHHH0nnknkkkkkEEHHEE)0()0(2)0('（1）非简并情况：nnnknkkkEEH)0()0()0()0('其中，能量的一级修正等于态中的平均值。（2）简并情况能级的一级修正由久期方程即给出。有个实根，记为)1(nE)0(nH在0det)1(kEH0)1(212)1(2221112)1(11kfffffkfkEHHHHEHHHHEHffkkkk)1(kEkfkkfE,,2,1,)1(分别把每一个根代入方程，即可求得相应的解，记为，于是得出新的零级波函数2．变分法选择尝试波函数，计算的平均值，它是变分参量的函数，由极值条件定出，求出，它表示基态能量的上限。)1(kE01)1(aEHkfkakka相应能量为)1()0(kkkEEE)(HH00H0)(0H例题1、设在H0表象中，的矩阵为：Hˆ)1(00)0(3)0(2)0(1)0(3**)0(2)0(1EEEEbabEaEH试用微扰论求能量的二级修正。解：本题的意义在于：并不知道无微扰算符，微扰和总的（一级近似）哈密顿算符的形式，也不知道零阶近似波函数的形式，知道的是在表象中的矩阵。但仅仅根据这矩阵的具体形式，按习惯用代表字母的涵义，可以知道几点：0ˆH'ˆHHˆ)0(n0ˆH'ˆˆˆ0HHH（1）能量本征值是分立的（因为用分立矩阵表示，若是连续能量本征值，不能用此表示法），无微扰能量本征值有三个，本征函数。因)0(3)0(2)0(1EEE)0(3)0(2)0(1,,)0(1)0(1)0(10ˆEH)0(1)0(10)0(1011ˆEdHH