量子物理—电子自旋

12;;2qvJmvrISrr角动量电流面积磁矩是电流乘以面积2qJm带电粒子轨道角动量的经典图像2Jmr此处q自身带正负号磁矩与角动量量子物理承认磁矩与角动量的正比关系，但是角动量在空间任何方向的分量值是量子化的2轨道角动量磁矩：/2BeeLLm电子轨道角动量若为电子qeJ为轨道角动量2Beem为波尔磁子3（1）自旋角动量概念对于轨道角动量的Z分量，算符ˆˆˆˆzyxLxpyp其本征值只能是，其中只能取整数从最大值依次减1直至，叫做磁量子数llmmm,(1),(2),...(2),(1),mllllll4轨道角动量在任意方向投影的可能值都是分立的，在任一方向的投影值只能取,(1),......(1),llljl为总角动量量子数，是在所有方向的最大可能投影值0zlz22此结论可以直接解角动量分量算符本征方程而得，已经获得实验证实。实验事实还表明，电子还必须有附加的内禀磁矩：自旋磁矩。5实验发现，电子除了轨道角动量之外，还有另一种角动量，它与电子的空间运动无关，是一种内禀(intrinsic)角动量，我们称之为自旋角动量。但是，它不同于经典自旋（例如地球自转）电子自旋6进一步研究表明，不但电子存在自旋，中子、质子、等所有微观粒子都存在自旋，只不过取值不同。自旋和静质量、电荷等物理量一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。电子自旋7电子自旋电子自旋的经典图象。以此图像，电子磁矩在空间某方向的可能投影值应该是连续值。然而，类似于轨道角动量磁矩实验，实验发现……SS8SternGerlach实验实验说明：粒子源为热炉中蒸发出的银原子。其状态是一个各种态都有可能的混合态。（可类比于自然光偏振，各种偏振都有。）银原子核外47个电子，其中内层46个可视为构成了一个球对称电子云整体而没有净角动量。核自旋角动量忽略不计。总之：整个原子的磁矩由第47个电子磁矩决定，它正比于其自旋值。磁矩在非均匀磁场中受力()FBz9SternGerlach实验OvenB真实观测结果经典物理预言为解释此实验结果，Uhlenbeck和Goudsmit提出自旋角动量：,/(2)SzBeem据计算，z方向磁矩的两个值为，10电子自旋的基本性质：Sz2zs（1）电子具有自旋角动量，量子数为1/2电子自旋在空间任何方向上的投影值（分量测量值）仅取两个值，例如方向（2）电子具有磁矩，它和自旋角动量的关系是：SSeeSSm为回磁比为表述方便，今后的电子自旋磁矩与自旋角动量关系，我们一般都用回磁比式。11回顾：轨道角动量量子化假定：对任何角动量，在空间任何方向的可能的磁量子数，都是从最大值到最小值依次减一，最大值与最小值绝对值相等。（对于自旋，这点可以严格证明）因为分量值只有两个，电子自旋角动量必须是才能满足任何方向分量值只有两个的条件！/22/SBeeSSm另外，自旋磁矩回磁比必为轨道磁矩的2倍。才能满足电子自旋每个分量的磁矩大小都是一个波尔磁子这一事实。/2LBeeLLm12空间任意方向自旋本征态如何表示？（2）自旋角动量的态矢量1）电子自旋空间为两态空间2）与之对应，自旋角动量的算符的本征只能有两个，分别为。在轴上的两个分量对应的本征矢量为z形象的说，即为自旋朝上的态和自旋朝下的态。13空间任意方向自旋本征态如何表示？（2）自旋的态矢量14连串实验OvenSGzSGz+z-zNosignal+z-zOvenSGzSG+-+z-z想象偏振测量实验。这里磁场方是测量基！处于+z的态，发现它是+x态或-x的概率是1/2添加其他实验还可证明，处于某个方向正向的态，在一个与其夹角为的方向测分量值。获得正值概率为，获得负值概率为。2cos/22sin/22cos/22sin/215物理量:Sz（z向自旋）可观测结果：，算符本征值，本征矢，1001,zz100-122zzzz111-1x+/2,x/2算符：Sx（x向自旋）01-10x+x+x-x-221i1-iy+/2,y/2（Y向自旋）0i-i0y+y+y-y-22Sy/2/2/2/2/2/216对自旋态的数学描述必须与实验事实相符并且自洽。基本任务：对空间任何方位（）的正方向与负方向的自旋本征态的数学描述。,17实验事实1：任何方位的正负方向的本征态正交。此即要求在任何方位，0事实2：任何两个方位，若其正向夹角为那发现其中一个方位的正向本征态是另一个方位正负向本征态的概率分别为。22cos/2,sin/218事实2：任何两个方位，若其正向夹角为那发现其中一个方位的正向本征态是另一个方位正负向本征态的概率分别为。22cos/2,sin/211;22xzzyziz若选定则必然要求以便满足事实2，即21/2xy191;2xzz若选定以便满足事实2，即22,cos2z则必然要求,cossin22izez22',',cos()222以及201;2xzz若选定则必然要求,cossin22izez/2/2,cossin22iiezez或者Bloch球面电子自旋任何一个态对应于Bloch面上一个点21/2/2,cossin22iiezez任意态可以采用两维矢量表述/2/2cos2sin2,;iiee特别的1001,zz111111,22xz223.自旋角动量算符与泡利矩阵任何物理量都对应与一个线性厄米（Hermitian，self-adjoint）算符A。A有一套本征矢量，对应本征值回顾公设该物理量算符为：iiiaaaia23/2/2,cossin22iiezez/2/2,sincos22iiezez3.自旋算符与泡利矩阵什么样的算符能有这种本征态及相应的本征值？ˆ(,),,,,22S对于任意方位的自旋角动量分量，有本征值及对应的本征态,/224ˆ(,),,,,22S对于自旋角动量算符抛弃公因子/2即得泡利算子ˆ(,),,,,对于特殊方位,,xyz轴ˆ;ˆ;ˆxyzxxxxyyyyzzzz3.自旋算符与泡利矩阵251001z0110x00iiy上述矩阵定义为泡利自旋矩阵3.自旋算符与泡利矩阵自旋角动量分量算符ˆ,,,2Sxyz注：一般教科书上采用先给出泡利自旋矩阵，再去算本征态。然而，给出泡利自旋矩阵是基于假定自旋算符与轨道角动量算符具有同样对易法则。（这个假定不属于量子力学公设。）然而，我们的课件在这里既不需要这个假定，也不需要先行了解轨道角动量算符及其对易关系，我们只用到两个东西：实验事实与算符公设。请同学们注意品味课件这部分内容。261001z0110x00iiy单位矩阵加上泡利自旋矩阵可以构成任何2乘2矩阵3.自旋算符与泡利矩阵任何2乘2矩阵1001000000001001Mabcd可改写为xyzI例如：001012xyccci所有泡利矩阵的本征值都是1271001z0110x00iiy不同的泡利自旋矩阵是不对易的，任何不同方位的自旋角动量分量值不能同时精确测量。3.自旋算符与泡利矩阵yzxxzxyzzyzxyyxSiSSSSSiSSSSSiSSSS定义自旋平方算符为：2222zyxSSSS22224xyzSSS2222234xyzSSSSI平方算符的本征值是唯一的，又称为常数算符283.自旋算符与泡利矩阵22224xyzSSS4322222zyxSSSS可以证明，对于任何角动量J，此处j为总角动量量子数。2222223111422xyzSSSSSS22(1);,1,...zJJJjjjmmjjj本征值为yyxzxyzzyxzxxzyJJJJiJJJJJiJJJJJiJ证明过程只需要对易关系220JJJJ对于轨道角动量，ˆˆrp以上对易关系可以验证294在均匀静均匀静磁场中的自旋进动进动就是指在外磁场作用下自旋态的演化。如过去所说，我们需要哈密顿量及其本征值与本征态。30/2/2,cossin22iiezez4在均匀静均匀静磁场中的自旋进动电子自旋任何一个态对应于Bloch面上一个点，或者对应于连接原点与该点的矢量电子自旋态的演化可以直观的对应于Bloch面上点的运动，或者是对应矢量尾部的进动我们把自旋态在磁场中的演化称为自旋进动“进动”只是一个直观的数学图像，与电子位置没有任何关系！314在均匀静均匀静磁场中的自旋进动为方便起见，今后我们将统一采用sS这里，-/eem称为电子的回磁比（gyromagneticratio）联系电子磁矩与自旋角动量（算符）324在静均匀静磁场中的自旋进动哈密顿量HB经典电磁学，势能实验表明，量子力学的哈密顿量就是把上式的磁矩换成算符。ˆˆˆ;,xyzxyzS,,ˆ-;2xyzHBSSˆˆˆ2xxyyzzH为方便起见，经常采用约化磁场：B334在均匀静磁场中的自旋进动（拉莫进动）设磁场方向为z+方向，000ˆ;-zzBBzHBSS0B称为拉莫频率(Larmorfrequency)自旋1/2粒子在均匀静磁场中的进动叫做拉莫进动，Larmorprecession34态演化问题的一般方法回顾我们现在局限于不含时哈密顿量1）写出哈密顿量2）解定态方程，获得哈密顿量的本征态与本征值，3）以上述本征态为基础态，将给定的初始态展开，最后得任意时刻的态。nnE(0)(0);(0)nnnncncc(0)/()niEtnntce35为方便起见，经常采用约化磁场：B取磁场为z+方向自旋态在磁场中的进动哈密顿量;2zHB定态及本征值1001,/2,/2zEzE对于任意初始态(0)zz在时刻t/2/2()itittezez为拉莫频率对应Bloch面上点的进动，是“绕z轴转动”36对自旋态的数学描述必须与实验事实相符并且自洽。基本任务：对空间任何方位（）的正方向与负方向的自旋本征态的数学描述。,37在时刻t/2/2()itittezez若初始时刻为x在任意时刻x方向自旋平均值？/2/2/2/20110/2/20110ˆ()()();1ˆ();221(),cos222ititititxxexeititexesttSttSsteet38在时刻t/2/21()2itittezez任意时刻t发现它的自旋为x+的概率？22/2