超静定结构的分析

第三部分超静定结构的分析第八章力法第一节力法基本概念1、力法基本概念1）.力法基本未知量超静定结构是有多余约束的几何不变体系，具有多余约束是其与静定结构在几何组成上的区别，也是造成其仅用静力平衡条件不能求解的显见原因。2）力法基本体系AqB(a)原结构BAqx1(b)基本体系图8-1-1返回返回力法的基本未知量是超静定结构多余约束中的多余力如图8-1-1(a)所示为有一个多余约束的几何不变体系。取B支座链杆为多余约束，去掉后代以多余力x1，见图(b)。设想x1是已知的，图(b)所示体系就是一个在荷载和多余力共同作用下的静定结构的计算问题。换句话说，如果x1等于原结构B支座的反力，则图(b)所示体系就能代替原结构进行分析。本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，力法基本体系的结构叫力法基本结构。3）力法基本方程力法基本方程，应是求解结构多余约束中多余力的条件方程。受力条件只能从原结构的外荷载、多余约束，与基本体系的外荷载及相应的多余约束力定性一致考虑，见图8-1-1。变形和位移条件是结构内部对外力的响应的外部表现形式，见图8-1-2(a)、(b)所示，可以由基本结构中的多余力处沿该多余力方向的位移与原结构一致的条件定量分析。AqB(a)原结构x1qBA(b)基本体系该条件可表示为：01(a)利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、多余力单独作用的两种情况，分别分析后在叠加。分解后，见图(c)、(d)所示BAx1(c)qBA(d)11P1叠加与11P101+=即：得：11P1+=0(b)111x11=使式(b)改写成：111xP1+=0(c)力法基本方程，是基本结构上多余力处沿多余力方向的位移与原结构一致的条件。即位移条件。试用力法计算图(a)所示超静定梁，并作梁的弯矩图。例8-1-1AqB(a)原结构解：1)取基本体系如图(b)。(b)基本体系qBAx1见图(c)、(d)PM1M作图和图LBAx=11(c)BAq22qL(d)作弯矩图，见图(e)。82qL82qLAB(e)2、力法基本未知量的确定确定力法基本未知量，即要求确定多余力的数量，同时也要求确定相应的基本体系。见图8-1-3(a)所示连续梁，去掉两个竖向支座链杆后为悬臂梁，见图(b)BCA(a)原结构BCAx1x2(b)基本结构1x2BCAx1x2(c)基本结构2图8-1-3力法基本未知量数=结构的多余约束数=结构的超静定次数(A)一个超静定结构的多余约束数是一定的，但是基本体系却不是唯一的。对于较复杂的超静定结构，侧可采用拆除约束法。即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定结构（力法基本结构），则拆除的约束就是多余约束，其数量就是力法的基本未知量数。拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下：切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相当于去掉一个约束；（1）切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束；切断一根连续杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个约束；将固定端换成固定铰支座或在一根连续杆上加一个单铰，相当于去掉三个约束。（2）（3）（4）用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，应注意：结构上的多余约束一定要拆干净，即最后应是一个无多余约束的几何不变体系；要避免将必要约束拆掉，即最后不应是几何可变体系或几何瞬变体系。（2）（1）例8-1-2试确定图(a)、(b)所示结构的基本未知量。(a)x3x3x1x1x2x2(a1)x1x2x3(a2)(b)x1x2x1x2x2(b1)x3x1x2x2(b2)第二节在荷载作用下的力法方程及示例1、两次超静定结构的力法方程AB(a)取原结构的力法基本体系如图(b)x2x1BA(b)01方向的位移条件1x02方向的位移条件2x分别考虑基本结构在各个多余力、荷载单独作用下的位移情况，见图(c)、(d)、(e)所示。Bx2Ax1BA(c)(d)AB(e)222221111211PP将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得：(a)引入位移影响系数,并代入位移条件，式(a)写成：01212111pxx02222121pxx(b)式(b)既是两次超静定结构在荷载作用下的力法方程。2、次超静定结构的力法方程（力法典型方程）由两次超静定结构的力法方程推广，得：0022222221211111212111PnnjjiiPnnjjiixxxxxxxxxx……………..0022112211jPnjnjjjijijjiPninjijiiiiixxxxxxxxxx……………..02211nPnnnjnjininnxxxxx(8-2-1)写成矩阵形式：力法方程是力法基本结构与原结构一致的位移条件。nnnjninnjnjjjijjinijiiiinjinji21212122222211111211njixxxxx11nPjPiPPP210000000+=(8-2-1a)柔度矩阵的特征：在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右下角的斜直线）排列的是主系数。主对角线两侧，排列的是副系数。根据位移互等定理，在主对角线两侧对称位置上的副系数互等。所以，力法方程的柔度矩阵是一个对称方阵，其独立的柔度系数为个2/)(2nn。例8-2-1使用力法计算图(a)所示超静定梁，并作弯矩图。LAB(a)解：1)判定梁的超静定次数，并确定相应的力法基本体系。见图(b)。x1x2ABx1x2AB(b)基本体系2)写力法方程。01212111pxx02222121pxx(a)3)求力法方程中的系数和自由项。作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。（1）x=11AB(c)ABx=11(d)AB(e)图乘求系数和自由项。(2)EILLEI3)132121(12211EILLEI6)131121(12112EIqLLqLEIPP24)121832(1322111可由1M的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做自乘。122M可由图的面积与该面积形心对对应的图的竖标相乘得出（由位移互等定理，也可交换取面积和竖标），叫做互乘。由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图自乘或互乘的过程。将所的系数和自由项代入力法方程(a)，并求解多余力。(3)0243602463321321EIqLxEILxEILEIqLxEILxEIL简化为：08210821221221qLxxqLxx(b)解方程，得：1221qLx1222qLx(c)作弯矩图。见图(f)。(4)AB242qL122qL122qL(f)M图利用前面已作各弯矩图，叠加求出杆端（控制截面）弯矩值：PABABABABMxMxMM22111200)12(1222qLxqLMABPBABABABAMxMxMM22111201210221qLqLxMBA（上侧受拉）（下侧受拉）说明：(1)超静定结构的内力只与杆件刚度EI的相对值有关，而与其绝对值无关。(2)作最后弯矩图的叠加公式：(3)力法解题一般步骤：（针对梁和刚架，并仅在荷载作用下）确定结构的力法基本未知量，并绘出相应的力法基本体系；1`作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷载作用下的弯矩图；3`求力法方程中的系数和自由项；2`将系数和自由项代入力法方程，求解多余未知力；4`叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构的弯矩图；5`由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图作结构的轴力图；6`校核力法计算结果。7`例8-2-2计算图(a)所示超静定刚架，并作弯矩图。L/2ACBL/2L(a)解：1)确定基本未知量，并选择基本体系。对图(b)、(c)所示的两个基本体系比较。Ax2BCx1(b)基本体系1L/3L/3x2x1x1CBAx2(c)基本体系1x=11ABCL(b1)Ax=12LCBL(b2)ABC(b3)x1x=11CBA1/2x2x=12CBA13/2CBAFL/4P(c1)(c2)(c3)2)计算系数和自由项EILLEILLEI125)132121(21)13232121213232121(111EILLEI43)23322321(122EILFLLFEIPPP32)121421(212102P3)将系数和自由项代入力法方程，并求解：043032125221xLLFxLP解得：04031xEILFxP4)计算杆端弯矩，并作弯矩图EILFEILFMxxMPPPABAB803)403(21232121（右侧受拉）EILFxMMPBCBA4031（左、上侧受拉）ABC(d)M图说明：力法简化计算主要是使力法方程解耦或使联立数目减少。当所有的副系数等于零时，力法方程是完全解耦的。所以，在选择力法基本体系时，应是尽可能多的副系数等于零。在选择力法基本体系上注意比较对照，往往起到使力法方程解耦、或减少计算量的效果，节省时间并有利于得出正确的结果。例8-2-3用力法计算图(a)所示组合结构，求出各桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已知梁式杆的抗弯刚度EI=常数，各桁架杆的轴向刚度EA=常数，且A=I/16。4m3m4mq=10kN/mDBCA(a)解：1)确定力法基本体系q=10kN/mx1x1DBCA(b)力法方程为：01111px2)计算力法方程中的系数和自由项x=11x1DBCA(c)因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分上无轴力发生，，只有梁式杆上有弯矩，见图(d)。q=10kN/m30kN40kNmDBCA10kN(d)显然，计算系数或自由项均应分别考虑梁式杆和桁架杆不用变形特点的位移计算式。计算如下：EIEIEA78.169)2324221(2]5)65)(65(2)311[(111EIEIP67.266)2214841032232440212(1213)将系数和自由项代入力法方程，并解之：067.26678.1691EIxEIkNx57.114)计算内力mkNMxMMPCACBCA86.3640)57.1(221（下侧受拉）桁架杆轴力：kNxFNDC57.111（压力）kNxFFNDANDB31.1651（拉力）DBCA(e)力法方程中的柔度系数和荷载作用时自由项计算公式：梁和刚架：dxEIMiii2dxEIMMjiijdxEIMMPiiP桁架：EALFNiii2LEAFFNPNiiPLEAFFNjNiij对于曲杆或拱结构，将梁和刚架相应的计算式中对x的积分换乘对曲线杆轴的的积分，即将dx换成ds。组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各自的计算式计算后叠加。力法解题的主要步骤为：判定结构的力法基本未知量，确定基本体系，并写出力法方程(1)计算基本结构在各印数单独作用下的内力，然后计算力法方程中的系数和自由项；(2)将系数和自由项代入力法方程，并求解出多余力；(3)计算控制截面内力，做内力图，并进行最后结果的校核。(4)第三节力法中的对称性利用若结构是对称的，荷载是正对称时，结构的内力分布也是正对称的；荷载是反对称时，结构的内力分布也是反对称的。若取对称的基本结构，并且多余力也具有正或（和）反对称性，则，在正对称荷载作用下，结构只有正对称多余力