有理数的乘除(提高)

地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第1页共9页有理数的乘除法（提高）撰稿：吴婷婷审稿：常春芳【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数与0相乘，积为0．要点诠释：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）多个不为0的有理数相乘时，可以先确定积的符号，再将绝对值相乘．（2）几个数相乘，如果有一个乘数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.倒数的意义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12，-2和12是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．4.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：a×b＝b×a．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：(a×b)×c＝a×(b×c)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a×(b+c)＝a×b+a×c．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法有理数除法法则：地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第2页共9页法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0.法则二：除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数，即1(0)ababb.要点诠释：（1）一般在能整除时应用法则一方便些，在不能整除的情况下应用法则二．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则一与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．计算：(1)54(3)1(0.25)65；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．解：(1)54(3)1(0.25)65591936548；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算：(1)10.250.5345；（2）245112718839271717【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把0.25与4相乘，再运用乘法结合律将0.5与135相乘．(2)．计算245273927的值可运用分配律，计算111881717的值则可逆用分配律．地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第3页共9页解：(1)原式1611680.250.54(0.254)5255；（2）245112718839271717245112727+27188392717171118125(1+)817173【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)2215130.34(13)0.343737；(2)3.1435.26.28(23.3)1.5736.4．【答案】解：（1）原式2125(13)(13)0.340.3433772125(13)0.343377(13)10.34(1)130.3413.34．(2)3.1435.26.28(23.3)1.5736.4＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314类型二、有理数的除法运算3．计算：17(49)2(3)33【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．【答案与解析】解：17(49)2(3)33331(49)773331493773【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第4页共9页结果．举一反三：【高清课堂：有理数乘除381226有理数除法例1（3）】【变式】计算：111(3)(2)(1)335【答案】解：原式103525()()()37621类型三、有理数的乘除混合运算4.计算：9481(16)49【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．举一反三：【变式】计算：14410(2)893【答案】解：14410(2)893194181941243108432843216类型四、有理数的加减乘除混合运算5.计算：121123031065【答案与解析】解：方法1：12112303106512035121303010方法2：2112131065302112(30)1031065所以121121303106510【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c)＝a÷b+a÷c进行分配就错了．举一反三：地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第5页共9页【变式】（1）211213106530；（2）753181.4563.9569618【答案】（1）原式=2112(30)2035121031065（2）原式7531818181.4563.9569618(14153)(1.453.95)622.5617类型五、含绝对值的化简6.已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出||||||abcabc的值吗?【思路点拨】当a、b、c分别大于0时，||1aa，||1bb，||1cc；当a、b、c分别小于0时，||1aa，||1bb，||1cc．【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a、b、c三个数都为正数时，||||||1113abcabcabcabc；(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，||||||1111abcabcabcabc；(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，||||||1111abcabcabcabc；(4)当a、b、c三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3abcabcabcabc综上，||||||abcabc的值为：3,3,1,1【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论．举一反三：【高清课堂：有理数乘除381226有理数除法例2】【变式】计算abab的取值．【答案】解：(1)当a＞0、b＞0时，112abab原式；地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第6页共9页(2)当a＜0、b＜0时，112abab原式；(3)当a＞0，b＜0时，110abab原式；(4)当a＜0，b＞0时，110abab原式．综上，abab的值为：2,2,0．【巩固练习】一、选择题1．若a＜c＜0＜b，则abc与0的大小关系是（）．A．abc＜0B．abc=0C．abc＞0D．无法确定2.若|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0，则(x+1)(y-2)(z+3)的值为()．A．48B．-48C．0D．xyz3．已知a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大的排列顺序是()．A．a＜ab＜ab2B．ab2＜ab＜aC．a＜ab2＜abD．ab＜a＜ab24.若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1!，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，……，则100!98!的值是为（）．A．5040B．99!C．9900D．2!5.下列计算：①0-(-5)＝-5；②(3)(9)12；③293342；④(36)(9)4；⑤若(2)3x，则x的倒数是6．其中正确的个数是（）．A．1B．2C