优选法

选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一.什么叫优选法二.单峰函数问题提出t57301p21.利用线性规划原理，可以解决在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，同时还可以求得使目标函数取得最大或最小值的最优解.其中在可行域内寻找最优解，体现了一种优选法思想.2.蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放多了，馒头就会发黄且有碱味.如果你没有做馒头的经验，也没有人可以请教，就要用数学的方法迅速找出合适的碱量标准.3.在实践中的许多最优化问题，试验结果与因素的关系，有些很难用数学形式来表达，有些表达式很复杂，这需要我们学习解决这类问题的数学方法.探究（一）：优选法思考1：有一种商品价格竞猜游戏，参与者在只知道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以“高了”或“低了”作为提示语，再让竞猜者继续估价，在规定时间或次数内猜对了即可获得相应奖品.如果你参与这项活动，每次会怎么给出估价？思考2：在生产、生活和科学实验中，人们为了达到优质、高产、低耗等目的，需要对有关因素的组合进行选择，其中最佳组合简称最佳点，关于最佳点的选择问题，称为优选问题.优选问题在生产、科研和日常生活中大量存在，如商品价格竞猜，蒸馒头放碱等都是优选问题，你能列举一个优选问题的实例吗？思考3：有一个1km2的正方形池塘，现在要找到池塘的最深点，若每隔1m测量一次，大约要测量多少次？约106次思考4：对于那些试验结果和相关因素的关系不易用数学形式表达或数学表达很复杂的优选问题，人们往往通过做试验的办法来寻找各种因素的最佳点.通过试验方法来求最佳点时，如果不合理安排，就可能面临什么问题？面临大量试验.花费大量人力、财力和时间.有时可能不具有操作性.思考5：利用数学原理，合理安排试验，以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法称为优选法.那么使用优选法的目的是什么？需要进一步探究的问题是什么？目的：减少试验次数.问题：优选法如何实施.探究（二）：单峰函数思考1：在军事训练中，发射炮弹要考虑发射角多大时炮弹的射程最远，这是一个优选问题，能否用数学形式表达炮弹的射程与发射角之间的关系？能思考2：设炮弹的初速度为v，发射角为θ(0°≤θ≤90°)，在时刻t炮弹距发射点的水平距离为x，离地面的高度为y，空气阻力忽略不计，则在下面的直角坐标系中，炮弹飞行轨迹的参数方程和普通方程分别是什么？2cos1sin2xtvytvgt(t为参数)222tan2cosgyxxvxyOθ思考3：炮弹的射程x与发射角θ之间的函数关系是什么？其图象如何？炮弹发射角的最佳点是什么？射程xO发射角θ422sin2(0)2vxg最佳点是4思考4：上述结果表明，发射角在内有唯一的最佳点，当发射角在内的取值比大些或小些时射程都近，通常称这样的试验具有单峰性.一般地，怎样理解单峰性的含意？[0,]24[0,]24在试验范围内有唯一的最佳点，当试验范围内变化因素的取值比最佳点再大些或再小些时，试验效果都差，而且取值距离最佳点越远试验效果越差.思考5：下图中的两个函数称为区间[a，b]上的单峰函数，那么单峰函数的定义特征是什么？xyOabCf(x)xyOabCg(x)函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大(小)值点C，且在点C的两侧单调，并具有相反的单调性.思考6：下列各图中的函数是区间[a，b]上的单峰函数吗？单峰函数一定是连续函数吗？xyOabxyOabxyOab规定：区间[a，b]上的单调函数是单峰函数.单峰函数不一定是连续函数.探究（三）：因素与试点思考1：在炮弹发射试验中，除发射角外，客观上还会因哪些原因影响炮弹的射程？初速度，空气阻力，地理位置等.思考2：一般地，把影响试验目标的诸多原因称为因素.由于全面考虑试验中的各种因素往往非常困难，常假设其中的某些因素保持不变，或忽略某些影响较小的因素，而把关注点集中在感兴趣的某个因素上.如果在一个试验过程中，只有（或主要有）一个因素在变化，则称这类问题为单因素问题.炮弹发射试验是否为单因素问题？认为哪些因素保持不变？忽略了哪些因素？认为初速度保持不变，忽略了空气阻力.思考3：把试验中可以人为调控的因素叫做可控因素，不能人为调控的因素叫做不可控因素，炮弹发射试验中哪些是可控因素，哪些是不可控因素？一般地，在试验中我们感兴趣的因素是哪种因素？发射角是可控因素，空气阻力是不可控因素，感兴趣的是可控因素.思考4：表示试验目标与因素之间对应关系的函数称为目标函数，常用x表示因素，f(x)表示目标函数，包含最佳点的因素范围下限用a表示，上限用b表示.炮弹发射试验的目标函数，因素范围上、下限分别是什么？目标函数：2()sin2vfxxg因素范围上限：，下限：0.2思考5：当主要因素确定之后，接下来的任务是通过试验找出最佳点，使试验的结果（目标）最好.当目标函数没有表达式时，一般要选择适当的方法安排试验点（简称试点），选择试点方法找出最佳点的基本原则是什么？试点个数尽可能少.思考6：设x1和x2是因素范围[a，b]内的任意两个试点，C为最佳点，把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点称为差点.若目标函数为单峰函数，则好点与差点哪个更接近最佳点？若好点和差点在最佳点同侧，则好点比差点更接近最佳点；否则，不好说.xyOabCf(x)xyOabCf(x)思考7：若目标函数为单峰函数，则最佳点，好点，差点的相对位置关系如何？xyOabCf(x)xyOabCf(x)最佳点与好点必在差点的同侧.思考8：以差点为分界点，把因素范围分成两部分，其中好点所在部分称为存优范围.据此，你能设计一个找最佳点的方法吗？不断缩小存优范围理论迁移例1据医学统计，人群中带有某种传染病毒的人所占的比例为0.25%.某市在一次高考体检中有1万名考生待检，为了查清这些考生中哪些人携带此病毒，医院采取一种叫“群试”的方法，通过血液化验进行排查.即把从每位考生身上抽取的血样分成两部分，一份保存备用，一份与其他若干人的血样混合在一起化验．若某组混合血样中含此病毒，说明这组人中有该病毒携带者，然后利用备用血样逐个化验排查；若某组混合血样中不含此病毒，说明这组人中没有该病毒携带者，这样就可以减少化验的次数．若将这1万名考生平均分成200组进行群试化验排查，那么至多做多少次化验，就一定能找出所有该病毒携带者.1424次例2已知函数f(x)为区间[0，1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a时取最大值，并称a为峰点，包含峰点的区间叫做含峰区间.证明：对任意x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x1，1)为含峰区间.例3已知函数若f(x)是[0，4]上的单峰函数，求a的取值范围.3221()2323fxxaxax4(,0][,)3U小结作业1.如果影响试验的某个因素（记为x）处于某种状态（记为x＝x0）时，试验结果最好，那么这种状态（x＝x0）就是这个因素（x）的最佳点.2.具有单峰性的试验是优选法研究的最简单的试验，在这样的试验中，试验结果可以表示为实验因素的单峰函数.3.目标函数并不需要f(x)的真正表达式，因素范围可以用a到b的线段来表示.不断缩小存优范围是寻找最佳点的一个有效办法.作业：P3习题1.1：1，2.P5习题1.2：1，2.选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法三.黄金分割法——0.618法问题提出t57301p21.优选法的含意是什么？利用数学原理，合理安排试验，以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.2.区间[a，b]上的单峰函数的基本特点是什么？函数在区间[a，b]上只有唯一的最大(小)值点C，且在点C的两侧单调，并具有相反的单调性.3.好点、差点和单峰函数存优范围的含义分别是什么？好点：两个试点中效果较好的点；差点：两个试点中效果较差的点；存优范围：以差点为分界点，把因素范围分成两部分，好点所在部分对应的范围.4.优选法的基本原则是以最少的实验次数迅速找到最佳点，在实际问题中，应采取什么办法贯彻这个原则？对具有单峰性的试验，如何安排试点才能迅速找到最佳点？这才是优选法的核心内容，也是我们必须解决的问题.探究（一）：黄金分割常数思考1：对于单峰函数，最佳点与好点必在差点的同侧，从而可以通过不断缩小存优范围来寻找最佳点，具体如何操作？先在因素范围[a，b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把[a，b]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a1，b1]再在[a1，b1]内重复上述工作，….思考2：假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到了什么区间？对峰值在(0.2，1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到了什么区间？xyO0.11f(x)0.2(0，0.2)xyO0.11f(x)0.2(0.1，1)思考3：上述结果表明，如果试点选取是随意的，则对寻找单峰函数最佳点的效率会产生一定的影响.由于在试验之前无法预知哪个试点是好点，为了克服盲目性和侥幸心理，在每次选取两个试点时，你认为这两个试点应具有什么相对位置关系为好？关于区间中点对称ab思考4：在一个区间内关于中点对称的两点有无数对，实践表明，两个试点离中点太近或太远，都不利于很快接近最佳点.我们设想：每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度之比为常数.对单峰函数，若两个试点的试验结果一样，应如何舍去区间？同时舍去两个试点外侧的区间.思考5：在因素区间[a，b]内选取两个试点x1和x2，且x1＞x2，由点x1和x2关于区间[a，b]的中心对称，可得什么关系？舍去的区间长度为多少？x1x2abx2－a＝b－x1思考6：不妨设x2是好点，x1是差点，则舍去的区间是什么？存优范围是什么？再在存优范围内[a，x1]内做试验要取几个试点？存优范围是[a，x1]x1x2ab舍去(x1，b]取一个试点x2ax1思考7：在存优范围[a，x1]内取第三个试点x3，则点x2与x3的相对位置关系如何？舍去的区间长度为多少？x3关于区间[a，x1]的中心对称，且点x3在点x2左侧，舍去的区间长度为x1－x2.思考8：根据按比例舍去原则，可得什么等式？1121bxxxbaxabx1x2ax2ax1x3思考9：将上面的等式可得,,即如何理解这个等式两边的实际意义？112111bxxxbaxa121xaxabaxabx1x2ax2ax1x3两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间的比例数.思考10：设，有什么办法求出t的值吗？1xatba512t探究（二）：黄金分割法思考1：称为黄金分割常数，用ω表示，ω≈0.618.试验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法，也叫做0.618法.一般地，利用这个方法寻找单峰函数在因素区间[a，b]内的最佳点，具体如何操作？512在存优范围内取黄金分割点为试点.思考2：炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使练出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，若以1g为间隔，把所有的可能性都做一遍试验来寻找最优点，这种方法称为均分法，利用均分法寻找最优点有什么缺点？试验次数太多，在时间、人力和物力上造成浪费.思考3：用一张纸条表示1000～2000g，以1000为起点标出刻度，如何确定第一试点x1和第二试点x2的值？x21382x1161810002000x1＝1000＋0.618×(2000－1000)＝1618(g)，x2＝1000＋2000－x1＝1382(g).思考4：如果称因素范围的左右两端点值分别为小头和大头，那么x1和x2的直观表达式如何？x21382x1161810002000x1＝1000＋0.618×(20