函数的单调性(第一课时).

§1.3.1函数的单调性兖州六中朱国营情景引入yyxxoo11-111-1-1观察下列两个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1.从左向右图象有什么变化趋势？2.函数图象是否具有某种对称性？函数的单调性xyoxOy1124-1-2(1)()1fxx2(2)()fxx1.从左至右图象————2.在区间(-∞,+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着————2.(0,+∞)上从左至右图象上升，当x增大时f(x)随着增大上升增大下降1.(-∞,0]上从左至右图象当x增大时f(x)随着减小思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量x的值增大时,函数值是如何变化的？()fx新课探究xyoxOy1124-1-2(1)()1fxx2(2)()fxx在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？思考3：如何用数学符号描述这种上升趋势？对区间D内任意x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0x1x2f(x1)f(x2)12221方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵12,f(1)f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升方案2:(0,+)取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2且x1x2时，都有f(x1)f(x2)∞∞∞y对区间D内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)都设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.定义任意如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，D称为f(x)的单调增区间.那么就说f(x)在区间D上是单调增函数，区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升0x1f(x1)f(x2)12221y那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为A,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，D称为f(x)的单调区间.增当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，单调区间如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性。（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；,xyo2yx（2）x1,x2取值的任意性判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；yxO12f(1)f(2)解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.()yfx-432154312-1-2-1-5-3-2xyO质发疑展答思辩维•练一练根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.()yfx2544xyO-1321解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数；在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp证明:12341.设量(自变量);2.作差变形;3.判断;4.结(论)用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设量:在所给区间上任意设两个实数1212,.xxxx且（2）作差（3）变形作差：常通过“因式分解”、“通分”、“配方”等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式)()(21xfxf判断的符号12()()fxfx（4）结论:并作出单调性的结论证明函数在R上是减函数.).()(21xfxf即122()0,xx12()()0,fxfx∵12,xx,021xx∴∴练一练.利用定义：证明：设是R上任意两个值，且，21,xx21xx∴函数在R上是减函数．)(221xx()21fxx则1212()()(21)(21)fxfxxx()21fxx？画出函数图象，写出定义域并写出单调区间：x1yxy1yx的单调减区间是_____________(,0)(0,),讨论：根据函数单调性的定义1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?定义域为函数xy1),0()0,(拓展探究x1y1()fxxyOx在(0,+∞)上任取x1、x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)2x2()fx1()fx1x1()fxxyOx-11-11取自变量－11，而f(－1)f(1)∴不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数要写成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。1yx逗号隔开巩固设量判断差符号作差变形下结论课堂小结1.两个定义：增函数、减函数的定义；②(定义法)证明函数单调性，步骤:①图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右上升下降3.一个数学思想：数形结合2：两种方法如何确定函数的单调区间？4(),fxxx[1,5]x选做题：作业:（必做）课本39页A组第1、2题布置作业巩固练习•1、定义在R上的函数对任意两个不相等实数总有成立，则必有（）A、函数是先增加后减少B、函数是先减少后增加C、在R上是增函数D、在R上是减函数•2．函数y＝－6x＋10在区间（2，4）上是（）A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．选递增再递减．•3．设函数f(x)是R上的减函数，又若aR，则（）A．f(a)f(2a)B．f()f(a)C．f(+a)f(a)D．f(+1)f(a)0)()(babfaf2x2a2a2accD4.函数的单调增区间单调减区间5.证明函数在是增函数(1,+∞)22xy]0，（),0[xxy1证明：在区间上任取两个值且1,12,xx12xx则12121211()()()()fxfxxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,xx，且12xx12120,10xxxx1212()()0,()()fxfxfxfx所以函数在区间上是增函数.1yxx1,回