2016四川省高考数学文科试卷及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.设i为虚数单位，则复数(1+i)2=(A)0(B)2(C)2i(D)2+2i2.设集合A={x11≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(A)6(B)5(C)4(D)33.抛物线y2=4x的焦点坐标是(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)4.为了得到函数y=sin)3(x的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点(A)向左平行移动3个单位长度(B)向右平行移动3个单位长度(C)向上平行移动3个单位长度(D)向下平行移动3个单位长度5.设p:实数x，y满足x1且y1，q:实数x，y满足x+y2，则p是q的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.已知a函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=(A)-4(B)-2(C)4(D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为(A)35(B)20(C)18(D)99.已知正三角形ABC的边长为32，平面ABC内的动点P，M满足1APuuur，PMMCuuuruuur，则2BMuuur的最大值是(A)443(B)449(C)43637(D)43323710.设直线l1，l2分别是函数f(x)=ln,01,ln,1,xxxx图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11、0750sin=。12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是。侧视图俯视图13、从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a、b，则logab为整数的概率=。14、若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=x4，则5()(1)2ff=。15、在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为'2222(,)yxPxyxy，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点'A，则点'A的“伴随点”是点A.单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。其中的真命题是。（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（本小题12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。0.420.50（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。17、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，12BCCDAD。DCBAP（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。18、（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cCbBaAsincoscos。（I）证明：sinAsinB=sinC；（II）若bcacb56222，求tanB。19、（本小题满分12分）已知数列{na}的首项为1，nS为数列{}na的前n项和，11nnSqS，其中q0，*nN.（Ⅰ）若2323,,aaaa成等差数列，求{}na的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221nyxa的离心率为ne，且22e，求22212neee.20、（本小题满分13分）已知椭圆E：x2a2+у2b2=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(3，12)在椭圆E上。(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳21、（本小题满分14分）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=1x－eex，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题1.C2.B3.D4.A5.A6.D7.B8.C9.B10.A二、填空题11.1212.3313.1614.-215.②③三、解答题16.（本小题满分12分）（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.（Ⅲ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5所以2≤x2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.17.（本小题满分12分）DCBAP（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD∥BC,BC=12AD，所以BC∥AM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖∥AB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)（II）由已知，PA⊥AB,PA⊥CD,因为AD∥BC,BC=12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD.从而PA⊥BD.因为AD∥BC,BC=12AD，所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.18.（本小题满分12分）（Ⅰ）根据正弦定理，可设(0)sinsinsinabckkABC则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.代入coscossinABCabc中，有coscossinsinsinsinABCkAkBkC，可变形得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC，所以sinAsinB=sinC.（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=65bc，根据余弦定理，有2223cos25bcaAbc.所以sinA=241cos5A.由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以45sinB=45cosB+35sinB，故tanB=sincosBB=4.19.（本小题满分12分）（Ⅰ）由已知，1211,1,nnnnSqSSqS+++=+=+两式相减得到21,1nnaqan++=?.又由211SqS=+得到21aqa=，故1nnaqa+=对所有1n³都成立.所以，数列{}na是首项为1，公比为q的等比数列.从而1=nnaq-.由2323+aaaa，，成等差数列，可得32232=aaaa++，所以32=2,aa，故=2q.所以1*2()nnan-=?N.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1nnaq-=.所以双曲线2221nyxa-=的离心率22(1)11nnneaq-=+=+.由2212eq=+=解得3q=.所以，22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2nnnnneeeqqqnqqnqn--++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+-，20.（本小题满分13分）（I）由已知，a=2b.又椭圆22221(0)xyabab过点1(3,)2P，故2213414bb，解得21b.所以椭圆E的方程是2214xy.（II）设直线l的方程为1(0)2yxmm，1122(,),(,)AxyBxy，由方程组221,41,2xyyxm得222220xmxm，①方程①的判别式为24(2)m，由，即220m，解得22m.由①得212122,22xxmxxm.所以M点坐标为(,)2mm，直线OM方程为12yx，由方程组221,41,2xyyx得22(2,),(2,)22CD.所以2555(2)(2)(2)224MCMDmmm.又222212121212115[()()][()4]4416MAMBABxxyyxxxx22255[44(22)](2)164mmm.所以=MAMBMCMD.21.（本小题满分14分）（I）2121'()20).axfxaxxxx(0a当时，'()fx0，()fx在0+（，）内单调递减.0a当时，由'()fx=0，有12xa.当x10,)2a（时，'()fx0，()fx单调递减；当x1+)2a（，时，'()fx0，()fx单调递增.（II）令()sx=1exx，则'()sx=1e1x.当1x时，'()sx0，所以1exx，从而()gx=111exx0.（iii）由（II），当1x时，()gx0.当0a，1x时，()fx=2(1)ln0axx.故当()fx()gx在区间1+)（，内恒成立时，必有0a.当102a时，12a1.由（I）有1()(1)02ffa,从而1()02ga，所以此时()fx()gx在区间1+)（，内不恒成立.当12a时，令()hx=()fx()gx(1x).当1x时，'()hx=122111112exaxxxxxxx322221210xxxxxx.因此()hx在区间1+)（，单调递增.又因为(1)h=0，所以当1x时，()hx=()fx()gx0，即()fx()gx恒成立.综上，a1+)2[，.