高等数学(下)知识点总结

1高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3）单叶双曲面：1222222czbyax双叶双曲面：1222222czbyax4）椭圆抛物面：zbyax2222双曲抛物面（马鞍面）：zbyax22225）椭圆柱面：12222byax双曲柱面：12222byax6）抛物柱面：ayx2（二）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA；21//212121CCBBAA4、点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（三）空间直线及其方程21、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx3、两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm；21//LL212121ppnnmm4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAm；LpCnBmA第九章多元函数微分法及其应用1、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000；yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000003、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。4、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。5、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：32、微分法1）复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则zzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy（二）应用1）求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，①若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；②若02BAC，函数没有极值；③若02BAC，不定。2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122344曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、计算：1）直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyydycyxyyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx2）极坐标)()(),(21D，21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf（二）三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(2、计算：1）直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(-------------“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(-------------“先二后一”2）柱面坐标zzyxsincos，(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz3）球面坐标5cossinsincossinrzryrx2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrr（三）应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：01(,)dlim(,)niiiLifxysfs2、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则22(,)d[(),()]()()d,()Lfxysfttttt（二）对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在L上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(.向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2、计算：设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则(,)d(,)d{[(),()]()[(),()]()}dLPxyxQxyyPtttQtttt3、两类曲线积分之间的关系：6设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLPxQyPQs.（三）格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数),(,),(yxQyxP在D上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd2、G为一个单连通区域，函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则yPxQ曲线积分ddLPxQy在G内与路径无关（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数),,(zyxf是定义在上的一个有界函数，定义iiiiniSfSzyxf),,(limd),,(102、计算：———“一单二投三代入”),(:yxzz，xyDyx),(，则yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1)],(,,[d),,(22（五）对坐标的曲面积分1、定义：设为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP是定义在上的有界函数，定义01(,,)ddlim(,,)()niiiixyiRxyzxyRS同理，01(,,)ddlim(,,)()niiiiyziPxyzyzPS；01(,,)ddlim(,,)()niiiizxiQxyzzxRS2、性质：1）21，则712ddddddddddddddddddPyzQzxRxyPyzQzxRxyPyzQzxRxy计算：——“一投二代三定号”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数，),,(zyxR在上连续，则(,,)dd[,,(,)]ddxyDRxyzxyRxyzxyxy,为上侧取“+”，为下侧取“-”.3、两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中,,为有向曲面在点),,(zyx处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数,,PQR在上有连续的一阶偏导数,则有yxRxzQzyPzyxzRyQxPddddddddd或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscosddd2、通量与散度通量：向量场),,(RQPA通过曲面指定侧的通量为：yxRxzQzyPdddddd散度：zRyQxPAdiv（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddddd为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2、环流量与旋度环流量：向量场),,(RQPA沿着有向闭曲线的环流量为zRyQxPddd8旋度：yPxQxRzPzQyRArot,,第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu交错级数：1)1(nnnu，0nu2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散3）条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散；绝对收敛：1nnu收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数1nna，1nnb收敛，则1)(nnnba收敛；3）级数1nna收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数1nnu收敛0limnnu.（注意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：1nnu，0nu1）定义：SSn