二次函数与几何图形结合题及答案

11.如图，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令0y，得210x解得1x令0x，得1y∴A(1,0)B(1,0)C(0,1)……………………3分（2）∵OA=OB=OC=1∴BAC=ACO=BCO=45∵AP∥CB，∴PAB=45过点P作PEx轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=a，则PE=1a∴P(,1)aa∵点P在抛物线21yx上∴211aa解得12a，21a（不合题意，舍去）∴PE=3……………………………………………………………………………5分∴四边形ACBP的面积S=12AB•OC+12AB•PE=112123422………………………………6分(3)．假设存在∵PAB=BAC=45∴PAAC∵MGx轴于点G，∴MGA=PAC=90在Rt△AOC中，OA=OC=1∴AC=2在Rt△PAE中，AE=PE=3∴AP=32………8分设M点的横坐标为m，则M2(,1)mm①点M在y轴左侧时，则1m(ⅰ)当AMG∽PCA时，有AGPA=MGCA∵AG=1m，MG=21m即211322mm解得11m（舍去）223m（舍去）………9分GMCByPAox2(ⅱ)当MAG∽PCA时有AGCA=MGPA即211232mm解得：1m（舍去）22m∴M(2,3)………………………………………………………………………10分②点M在y轴右侧时，则1m(ⅰ)当AMG∽PCA时有AGPA=MGCA∵AG=1m，MG=21m∴211322mm解得11m（舍去）243m∴M47(,)39………………………11分(ⅱ)当MAG∽PCA时有AGCA=MGPA即211232mm解得：11m（舍去）24m∴M(4,15)………………………………12分∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为(2,3)，47(,)39，(4,15)…………………………………13分2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2yxbxc经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.GMCByPAox3解：（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）…………………1分∵二次函数2yxbxc的图像经过点A（-1，0）B(4,5)∴101645bcbc…………………………………………………2分解得：b=-2c=-3…………………………………………………3分（2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)∴直线AB的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数223yxx∴设点E(t，t+1),则F（t，223tt）………………………5分∴EF=2(1)(23)ttt………………………………………6分=2325()24t∴当32t时，EF的最大值=254∴点E的坐标为（32，52）………………………………7分（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F的坐标（32，154）,点D的坐标为（1，-4）SEBFD四边行=SBEF+SDEF=12531253(4)(1)242242=758………………………………………………10分②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,223mm)则有：25232mm解得:12262m－,22262m∴12265(,)22p－,22265(,)22pⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于3P，设3P（n，223nn）则有：215423nn解得：112n，232n（与点F重合，舍去）∴3P11524（，－）综上所述：所有点P的坐标：12265(,)22p－，22265(,)22p3P（11524（，－）.能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．……………………………………13分２６题备用图43.如图,已知二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，－2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.（1）∵cbxxy2的顶点为C（1，－2），∴2)1(2xy，122xxy．……………2分（2）设直线PE对应的函数关系式为bkxy由题意，四边形ACBD是菱形.故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．………3分由P(0，－1)，M（1，0），得01bkb．从而1xy，…5分设E(x，1x)，代入122xxy，得1212xxx．解之得01x，32x，根据题意，得点E(3，2)…………………………………7分（3）假设存在这样的点F，可设F(x，122xx)．…………………………………8分过点F作FG⊥y轴，垂足为点G.在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.……………………………………9分∴GFGPOPOM．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即xxx)12(12．解得01x，12x，根据题意，得F(1，－2)．故点F(1，－2)即为所求．322211221MFEMFPPEFSSS△△△．54如图，已知抛物线)0(2acbxaxy的顶点坐标为Q1,2，且与y轴交于点C3,0，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，－1）∴设122xay将C（0，3）代入上式，得12032a1a∴122xy，即342xxy…（3分）（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令y=0,得0342xx解之得11x,32x∵点A在点B的右边,∴B(1,0),A(3,0)∴P1(1,0)（5分）②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)∵OA=OC,∠AOC=90,∴∠OAD2=45当∠D2AP2=90时,∠OAP2=45,∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2∥y轴,∴P2D2⊥AO,∴P2、D2关于x轴对称设直线AC的函数关系式为bkxy将A(3,0),C(0,3)代入上式得bbk330,∴31bk∴3xy……………（7分）∵D2在3xy上,P2在342xxy上,∴设D2(x,3x),P2(x,342xx)∴(3x)+(342xx)=00652xx,∴21x,32x(舍)∴当x=2时,342xxy=32422=－1∴P2的坐标为P2(2,－1)(即为抛物线顶点)∴P点坐标为P1(1,0),P2(2,－1)…………………………………………………（9分）(3)解:由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形……………………（10分）当点P的坐标为P2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形∵P(2,－1),∴可令F(x,1)∴1342xx解之得:221x,222x∴F点有两点,即F1(22,1),F2(22,1)……………（13分）