相似三角形经典难题汇编

1.如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形BP，CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H。给出下列结论：①DCFABE；②53PHFP；③PBPHDP2；④41-3SSABCDBPD正方形。其中正确的是。（写出所有正确结论的序号）2.设ABC的面积为1,如图①,将边BC、AC分别2等分,、相交于点O,的面积记为;如图②,将边BC、AC分别3等分,、相交于点O,的面积记为;以此类推,的面积记为、、、.则可表示为nS_________.3.已知正方形的边长为，延长到，以为边向右作正方形，延长到，以为边向右作正方形（如图所示），以此类推若，且点，，，，都在同一直线上，则正方形的边长是_____________.4.如图,在中,,,,点F在边AC上,并且,点E为边BC上的动点,将沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是__________.5.如图，点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连结AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC与于点G，交AD于点H，则HG的长为____________.6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，32），C是AB的中点，过C作y轴的垂线垂足为D.动点P从点D出发，沿DC向C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为________.7.如图的△ABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC于M、N两点。若∠B=90∘，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为_________.8.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长是___________.9.如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于H，点D在AH上，且DH＝CH，连结BD.将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.如图②，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tan∠ACH＝3，则AE的长为__________.10.如图，在反比例函数xy2的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数xky的图象上运动，若2tanCAB，则k的值为__________.11.我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形。如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形。设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度.矩形的面积为1S，其变形后的平行四边形面积为2S，他们通常有如下关系：21sin1SS.如图2，在矩形中，是边上的一点，且，这个矩形发生变形后为平行四边形，为的对应点，连接，，若矩形的面积为（m0），平行四边形的面积为（m0），试求的度数____________.12.设抛物线的解析式为，过点作轴的垂线，交抛物线于点；过点0,1B2作x轴的垂线，交抛物线于点，；过点0,21B1nn（为正整数）作轴的垂线，交抛物线于点nA，连接1AnnB，得1AnnnBB直角三角形,设nmk1（k，m均为正整数），若11RmmmkkkBBARtBBAt与相似，其相似比为____________.13.数学活动课上，励志学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）,若AD=3AB，探究得AC3AFAE的常数t，则t=____________.14.如图,一张等腰三角形纸片,底边长15cm,底边上的高为22.5cm.现沿底边依次从下向上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张纸条是第__________张15.已知:在面积为7的梯形ABCD中,,,,P为边AD上不与A、D重合的一动点,Q是边BC上的任意一点,连接AQ、DQ,过P作交AQ于E,作交DQ于F,则面积最大值是__________.16.将三角形纸片按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知,,若以点B',F,C为顶点的三角形与相似,那么BF的长度是___________.17.如图10-2-6所示，等腰三角形ABC中，底边BC=a，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，∠BCD的平分线交BD于点E。则DE等于___________.18.如图，在Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c满足的解析式是_____________.19.已知菱形ABCD的边长为1,60ADC,等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边的外心为点P，过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,求的值为__________.20.如图，三角板ABC的两直角边AC，BC的长分别为40cm和30cm，点G在斜边B上，且BC＝30cm，将这个三角板以G为中心按逆时针旋转90.至△A'B'C'的位置，那么旋转前后两个三角板重叠部分(四边形EFGD)的面积为_________.21.如图，点4321AAAA，，，在射线OA上，321BBB，，在射线OB上，且342312332211,BABABABABABA∥∥∥∥若212BBA，323BBA分别1，4，则图中三个阴影三角形的面积之和为__________.22.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H,则PH的长为____________.23.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE=____________.24.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E.分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F(F与C在AB两侧)，连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，则∠EAG的大小_____________.25.在中,,AD是BC边上的高,并且,则的度数为_________.26.在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过D作直线1使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有____________条.27.如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD,CD的延长线分别交AC，AB于点E,F.若6BF1CE1,则△ABC的边长为_____________.28.如图,将放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.(Ⅰ)的面积等于____________.(Ⅱ)若四边形DEFG是中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明)______________________.29.如图①，P为△ABC内一点，连结PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点.如图②在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形A的度数______________.30.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F.若BC=2，则EF的长为__________.②31.如图，在ABC中，，，、分别是边、的中点，是边上的动点（不与、重合）。设。当BPE是等腰三角形时，求的值为__________.32.如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=62，则MF的长是___________.33.把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”。现在我们在长为、宽为的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是____________.34.直线321lll∥∥，且1l与2l的距离为1，2l与3l的距离为3，把一块含有45∘角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线2l交于点D，则线段BD的长度为______________.35.正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE=DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB=3，AG=，则线段EH的长为_________.36.如图，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_______________.37.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=900，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为1A；AD的中点E的对应点记为1E.若BFEFAE111∽，则AD=________________.