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1综合题（每周两题）1、如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。（1）求证：MN=AM+BN。（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由。2、⊿ABC是正三角形，⊿BDC是顶角∠BDC＝120。的等腰三角形。以D为顶点作一个60。角。角的两边分别交三角形的边AB，AC于M、N两点。连结MN。（1）当MN∥BC时，试说明BM+CN＝MN。（2）当去掉MN与BC平行这一条件时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由。（3）当M、N分别在射线AB、CA上时，其他条件不变，探究BM、CN、MN之间的数量关系。画出图形，直接写出结论，不必说理。3、（临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3NMCBANMCBA24.如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，说明AD=BD+CD的理由5、如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，（1）求证：CE=CF.（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示，试猜:BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.6、在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6。E是BC的中点，将△ABE沿AE对折，使AB落在AF处，得△AEF。AF的延长线与CD相交于G，连结EG。（1）求AE的长（2）求证：△ECG≌EFG（3）求△AEG的面积6、如图，在两块全等的等腰⊿ABC和⊿DEF中，AB＝AC，∠A＝90。将两块三角形如图放置，其中一块三角形的直角顶点D放在点C上，一直角边与BC重合（如图一）。（1）操作：固定⊿ABC，将⊿DEF沿C→B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M（如图二）。试说明，点A在DE上。（2）在（1）的情形下，将三角板绕BC的中点M顺时针旋转角度a（0。＜a＜90。），设三角板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q（如图三），探索：在旋转过程中，PM与QM的数量关系，并说明理由。（3）探究：针对旋转不同的角度a（0。＜a＜90。），图中会出现不同的等腰三角形，试列举对于不同旋转角度a的值，图中所出现的等腰三角形（旋转过程中始终保持是等腰三角形的除外，且不再加线）。直接列出，不必说理。AABCDEGFC（D）EFABCM（D）ABEFCM（D）BPFEQA37、两个大小相同且含30角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合.将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点.（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I=CI.8.（10分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．9．（13分）如图，△ABP中，APB，把△ABP绕点A逆时针旋转60后得到△ACE.连结BC、PE、PC，测量得100BPC.⑴请找出图中的两个等边三角形：（不再添加其它点或线）⑵若150，试判断△PEC的形状，并说明你的理由;⑶若△CPE为等腰三角形，求的度数.备用图aECBPAaECBPA410.如图14-29①，在ΔABC中∠ACB=900，AC=BC，M为AB中点，P为AB上一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；（2）如点P移动至AB的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论？请予以证明。11、（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．2、⊿ABC的边BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC，⊿EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP.（1）在图a中，请你通过观察，测量，猜想直接写出AB与AP的数量关系和位置关系。（2）将⊿EFP沿直线l向左平移到图b的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ，猜想并写出BQ与AP的数量关系和位置关系，并证明你的猜想。（3）将⊿EFP沿直线l向左平移到图c的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。A（E）（）BC（F）PEFPBAQCQEABFCP514、（烟台市）如图，直角梯形ABCD中，BCAD∥，90BCD°，且2tan2CDADABC，，过点D作ABDE∥，交BCD的平分线于点E，连接BE．（1）求证：BCCD；（2）将BCE△绕点C，顺时针旋转90°得到DCG△，连接EG.．求证：CD垂直平分EG.（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．15、(年上海市)已知线段AC与BD相交于点O，联结ABDC、，E为OB的中点，F为OC的中点，联结EF（如图所示）．（1）添加条件∠A=∠D，OEFOFE，求证：AB=DC．（2）分别将“AD”记为①，“OEFOFE”记为②，“ABDC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是命题，命题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）．16、（牡丹江）已知RtABC△中，90ACBCCD，∠，为AB边的中点，90EDF°，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证12DEFCEFABCSSS△△△．当EDF绕D点旋转到DEAC和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEFS△、CEFS△、ABCS△又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．ADGECBODCABEFAECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F617．（2014•广东梅州,第21题8分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？