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第一讲等差数列与等比数列等差数列与等比数列专题四—数列『学习目标』1.掌握等差、等比数列的概念、通项公式𝑎𝑛、前n项和𝑠𝑛公式及其他性质公式；2.进一步了解方程思想、分类讨论思想，以及类比归纳等数学方法。3.通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。『学习重点』等差（比）数列的概念、通项、前n项和公式等基本运算及应用；『学习难点』等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及灵活应用全国卷Ι年份选择题填空题解答题考情2013年第6题：等比数列第17题：通项+求和分值：10~12题型：选择、填空、解答题量：两小/一大难度：中档题为主考点：1、等差数列、等比数列通项公式，求和，以及性质；2、an与Sn的递推关系，裂项相消法，错位相减法等求和。2014年第17题：通项+求和2015年第7题：等差数列第13题：等比数列2016年第17题：通项+求和2017年第17题：通项+判定全国卷I----近5年数列考点分析等差数列等比数列定义a𝑛+1−𝑎𝑛=______________a𝑛+1𝑎𝑛=___________通项公式an𝑎𝑛=a1+____________𝑑𝑎𝑛=𝑎1∙____________前n项和Sn𝑆𝑛=na1+a𝑛2=_____a1+____________𝑑𝑆𝑛=____________,𝑞=1𝑞≠1一.知识整合𝑑𝑞（𝑛−1）𝑞𝑛−1𝑛𝑛(𝑛−1)2𝑛𝑎1𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞,等差数列等比数列中项性质a,A,b成等差数列⟺2A=______a,G,b成等比数列⟺G2=______其他性质（1）a𝑛=a𝑚+________𝑑（1）a𝑛=a𝑚∙________2m+n=p+q,𝑎𝑚+𝑎𝑛=______________2m+n=p+q,𝑎𝑚∙𝑎𝑛=_______________(3)S𝐾,S2𝐾−S𝐾,S3𝐾−S2𝐾,…成数列(𝐾∈𝑁∗)(3)S𝐾,S2𝐾−S𝐾,S3𝐾−S2𝐾,…成数列𝐾∈𝑁∗且𝑞≠−1a+bab(n-m)𝑞𝑛−𝑚𝑎𝑝+𝑎𝑞𝑎𝑝∙𝑎𝑞等差等比考点一等差、等比数列的基本运算【例题1】等比数列{𝐚𝐧}的各项均为实数，其前n项和为𝐒𝐧，已知𝐒𝟑=𝟕𝟒，𝐒𝟔=𝟔𝟑𝟒，则𝒒=.二.考点突破解析：设等比数列{𝐚𝒏}的首项为{𝐚𝟏}，公比为𝒒𝒒=𝟏,𝑺𝟔=𝟐𝐒𝟑,不成立𝒒≠𝟏，𝑺𝟑=𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝟑)𝟏−𝒒=𝟕𝟒①𝑺𝟔=𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝟔)𝟏−𝒒=𝟔𝟑𝟒②①②整理得，𝒂𝟏=𝟏𝟒𝒒=𝟐2思考：其他解题方法？（小组讨论）法二：设等比数列{a𝑛}的首项为{a1}，公比为𝑞𝑆3=𝑎1+𝑎2+𝑎3=74𝑆6=𝑆3+𝑎4+𝑎5+𝑎6=634𝑎1+𝑎2+𝑎3=74①𝑎4+𝑎5+𝑎6=𝑞3(𝑎1+𝑎2+𝑎3)=564②解得，𝑞=2【变式训练1】1.（2017—全国𝚰--4）记𝐒𝐧为等差数列{𝐚𝐧}的前n项和。若𝐚𝟒+𝐚𝟓=𝟐𝟒，𝐒𝟔=𝟒𝟖，则{𝐚𝐧}的公差为（）A.1B.2C.4D.82.（2015--全国𝚰--13）在数列{𝐚𝒏}中，𝐚𝟏=𝟐，𝐚𝒏+𝟏=𝟐𝐚𝒏，𝑺𝒏为{𝐚𝒏}的前n项和。若𝑺𝒏=𝟏𝟐𝟔，则n=.3.（2013—辽宁卷--14）已知等比数列{an}是递增数列，Sn为{an}的前n项和.若a1，a3是方程𝑥2−5𝑥+4=0的两个根，则S6=.6C63【规律总结】（1）等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d/q、n、an与Sn这五个量，知三求二；（2）a1和d(或q)是两个基本量，所以一般先设出这两个基本量，然后构造方程组进行求解。（方程组）（3）应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值范围。（分类讨论）考点二：等差、等比数列的性质应用【例题2】已知各项不为0的等差数列{𝒂𝒏}满足𝟐𝒂𝟐−𝒂𝟕𝟐+𝟐𝒂𝟏𝟐=𝟎,数列{𝒃𝒏}是等比数列，且𝒃𝟕=𝒂𝟕,则𝒃𝟑𝒃𝟏𝟏=()A.16B.8C.4D.2解析：∵𝒂𝒏是等差数列，∴𝒂𝟐+𝒂𝟏𝟐=𝟐𝒂𝟕∴𝟐𝒂𝟐−𝒂𝟕𝟐+𝟐𝒂𝟏𝟐=𝟒𝒂𝟕−𝒂𝟕𝟐=𝟎∵𝒂𝟕≠𝟎，∴𝒂𝟕=𝟒∵𝒃𝒏是等比数列，∴𝒃𝟑𝒃𝟏𝟏=𝒃𝟕𝟐=𝒂𝟕𝟐=𝟏𝟔A【变式训练2】1.（2017—全国𝜤𝜤𝜤--9）等差数列{𝒂𝒏}的首项为1，公差不为0.若𝒂𝟐，𝒂𝟑，𝒂𝟔成等比数列，则{𝒂𝒏}的前6项和为（）A.-24B.-3C.3D.82.已知数列{𝒂𝒏}为等比数列，且𝒂𝟒𝒂𝟔=𝟐𝒂𝟓，设等差数列{𝒃𝒏}的前n项和为𝑺𝒏，若𝒃𝟓=𝟐𝒂𝟓，则𝑺𝟗=.3.设等比数列{𝒂𝒏}各项均为正数，且𝒂𝟓𝒂𝟔+𝒂𝟒𝒂𝟕=𝟏𝟖，则𝒍𝒐𝒈𝟑𝒂𝟏+𝒍𝒐𝒈𝟑𝒂𝟐+⋯+𝒍𝒐𝒈𝟑𝒂𝟏𝟎=()A．12B．10C．8D．2＋𝒍𝒐𝒈𝟑𝟓36AB【规律总结】等差、等比数列性质的应用技巧(1)等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．(2)应用时要注意结合其通项公式、前n项和公式．1.等差、等比数列的基本运算2.等差、等比数列的性质应用等差数列与等比数列三.本课小结夯实基础,能力提升简单题1.已知在数列{𝒂𝒏}中，𝒂𝟏=𝟏，𝒂𝒏+𝟏=𝒂𝒏+𝟑，𝑺𝒏为{𝒂𝒏}的前n项和，若𝑺𝒏=𝟓𝟏，则n=.2.（2013—广东卷--11）在等比数列{an}中，a1=1，公比为-2，则a1+a2+a1+a4=.615中档题3.（2015--全国𝚰𝚰--9）等比数列{𝒂𝒏}满足𝒂𝟏=𝟏𝟒，𝒂𝟑𝒂𝟓=𝟒𝒂𝟒−𝟏，则𝒂𝟐=（）A.2B.1C.𝟏𝟐D.𝟏𝟖4.（2017—北京卷--10）若等差数列{𝐚𝐧}和等比数列{𝐛𝐧}满足𝐚𝟏=𝐛𝟏=−𝟏,𝐚𝟒=𝐛𝟒=𝟖,则𝐚𝟐𝐛𝟐=.夯实基础,能力提升1C高考真题限时挑战5．（2017—北京卷--15）已知等差数列{𝒂𝒏}和等比数列{𝒃𝒏}满足𝒂𝟏=𝒃𝟏=𝟏，𝒂𝟐+𝒂𝟒=𝟏𝟎，𝒃𝟏𝒃𝟒=𝒂𝟓（1）求{𝒂𝒏}的通项公式；（2）求和：𝒃𝟏+𝒃𝟑+𝒃𝟓+⋯+𝒃𝟐𝒏−𝟏(选做题)6.（2017--全国𝚰--17）记𝑺𝒏是等比数列{𝒂𝒏}的前n项和。若𝑺𝟐=𝟐，𝑺𝟑=−𝟔（1）求{𝒂𝒏}的通项公式(2)求𝑺𝒏，并判断𝑺𝒏+𝟏，𝑺𝒏，𝑺𝒏+𝟐是否成等差数列夯实基础,能力提升1、p157—【复习练案】A组1-72、p158—【复习练案】B组1-3等差数列与等比数列四.作业练习