5-等参单元与数值积分

有限元法原理及应用FiniteElementMethodandItsApplicationsInstituteofMechanicalEngineeringandAutomationIMEAHsiangJiawei,PhDSchoolofMechantronicEngineering,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin,541004,P.R.C.Tel:[phone]E-mail:[e-mail]桂林电子科技大学机电工程学院机械工程及自动化所2019/10/725等参单元与数值积分第3节八结点四边形等参数单元第2节四结点四边形等参数单元InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第1节概述第4节四～九结点等参数单元第6节数值积分第5节等参单元列式第7节三维数等参元第8节小结2019/10/73第1节概述用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。本章将要介绍的等参元(IsoparametricElement)是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元(参考单元/标准单元)，在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换涉及两个方面：几何图形的变换(坐标变换)和位移场函数的变换(母单元的位移模式)，由于两种变换均采用了相同的函数关系(形函数)和同一组结点参数，故称其为等参变换。[概述]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2019/10/74第2节四结点四边形等参数单元[母体单元、自然坐标和形函数]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation母体单元ê：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η示于左图。取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。仿照矩形单元，可定义出四个形函数(1,1)ηξ(-1,-1)１342)4~1()1(141),(iNiii　　　　　　　　　(5-1-1)显然有如下特点：),(iN(i)是ξ，η的双线性函数(ii)ijiiNiji　　当　　　当　＝10),(2019/10/75第2节四结点四边形等参数单元[母体单元、自然坐标和形函数]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation(5-1-2)(iii)1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41iiN2019/10/76第2节四结点四边形等参数单元[实际单元与母体单元之间的坐标变换]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation(1)坐标变换(5-1-3)设xy平面上的实际单元e由母体单元经过变换F得到，且规定结点(ξi，ηi)与结点(xi,yi)对应(i=1~4)。这样的变换不只一个，利用(5-1-1)定义的形函数即可写出这种变换中的一个eeF：　iiiiiiyNyxNx4141),(),((5-1-3)所定义的变换有如下特点：2019/10/77第2节四结点四边形等参数单元[实际单元与母体单元之间的坐标变换]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationx,y是ξ，η的双线性函数。沿母体单元中η＝常数的直线(坐标线)，x,y是ξ的线性函数，对应于单元e中的一组直线，特别，单元e的一组对边1-2、3-4为直线。类似，ê中ξ＝常数的另一组坐标线对应于单元e中的另一组直线。特别，e的另一组对边2-3、4-1也是直线，单元e为直边四边形。单元ê的其他直线(例如对角线1-3)，变换到单元e中将是一条曲线(左图示)x,uy,v3241ξ=-1η=1ξ=-1/2ξ=0ξ=1/2ξ=1η=1/2η=0η=-1/2η=-1０2019/10/78第2节四结点四边形等参数单元[实际单元与母体单元之间的坐标变换]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation(２)Jacobi矩阵和Jacobi行列式矩阵41414141iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ(5-1-4)称为变换的Jacobi矩阵。detJ称为变换的Jacobi行列式。一般情况下，[J]的元素和detJ都是ξ，η的函数。若detJ恒不为零(一般使它恒正)，则[J]-1存在，变换F存在逆变换F-1,即：eeF：　1使单元e内的任一点(x,y)对应于单元ê内的一确定点(ξ，η)。此时称变换F为非奇异的。detJ称为变换特征量。2019/10/79第2节四结点四边形等参数单元[实际单元与母体单元之间的坐标变换]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationdetJ还具有明显的几何意义，如下图所示。设在(ξ，η)处detJ≠0在(ξ，η)附近取一边长为dξ，dη的长方形。设此长方形与单元e内的一个小子区域dσ对应，可以证明，此小子域的面积dσ在略去高阶微量后有ddJddetedσê(ξ,η)dηdξ(x,y)2019/10/710第2节四结点四边形等参数单元[实际单元与母体单元之间的坐标变换]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation例如左图所示的实际单元e为边长分别为2a、2b的矩形。结点坐标为：α2a2b1(c,d)423０xysin2cos22211adyacxdycxcos2sin2cos2sin2sin2cos24433bdybcxbadybacx则由(5-1-3)，可得出坐标变换为sincossincos121sin2121cos2sin2cos243324321babacbacNNbNNaNNNNcx2019/10/711第2节四结点四边形等参数单元[实际单元与母体单元之间的坐标变换]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation同样得到：cossincossinbabady表明：当实际单元e为矩形时，经坐标变换得到的x,y是ξ，η的线性函数。Jacobi矩阵为cossinsincosbbaayxyxJJacobi行列式abbbaaJcossinsincosdet在单元内是常数。2019/10/712第2节四结点四边形等参数单元[单元内假设的位移场]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation对于平面问题，设沿总体坐标系的位移为u、v，结点(xi,yi)的位移为ui，vi实际单元e内的假设位移场(Trialfunction)取为iiiiiivNvuNu4141),(),((5-1-5)注意，这里u、v虽然是用点的自然坐标ξ，η表述的，但位移u、v(以及后面的单元刚度矩阵)却是对总体坐标系的。这与在单元局部坐标系下定义位移场的作法有区别。在坐标变换(5-1-3)和假定的位移场(5-1-5)中使用的是同一套变换关系(形函数)，同一套变换参数(与(xi,yi)对应的结点位移(ui,vi))满足这一特征的单元称为等参数单元。这样定义单元有不少优点，但也对我们提出了一些新问题。假定的位移场是ξ，η的双线性函数，当实际单元为矩形时，ξ，η可表示成x,y的线性函数，假定的位移场u、v是x，y的多项式。但位移场u、v不再是x，y的多项式。2019/10/713第2节四结点四边形等参数单元[收敛性分析]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation(1)单元内位移场连续x、y、u、v都是ξ，η的双线性函数(连续函数)。只要Jacobi行列式detJ≠0，u、v就是x，y的连续函数。即在实际单元内u、v连续。(2)刚体位移和常应变条件对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总体坐标的完全一次多项式。或者换一个提法：假定的位移场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场。当试探函数直接用总体坐标的多项式描述时(像第四章所做的那样)采用前面一种提法是方便的。现在试探函数是用自然坐标表述的，则用后一种提法更合适一些。2019/10/714第2节四结点四边形等参数单元[收敛性分析]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation我们定义的形函数满足：1),(10),(41iiijiiiNijijN　　当　　　　当　　(5-1-6)yxvyxu654321设真实位移场为x，y的线性函数将x，y按(5-1-3)代入，1),(41iiN由iiiijiiiiiiiyxNyNxNNu321414134124112019/10/715第2节四结点四边形等参数单元[收敛性分析]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation注意到结点位移的真实值则有iiiuyx321iiiuNu41iiivNv41上述论证表明：只要所定义的形函数满足(5-1-6)(不管形函数的具体表达式如何)，且坐标变换和假定的位移场使用同一组形函数(等参数单元总是如此)，那么这样假设的位移场一定能够精确地表述任何一种线性位移场，即刚体位移和常应变条件总可以得到满足。(3)协调性2019/10/716第2节四结点四边形等参数单元[收敛性分析]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation对于二阶问题要求穿过单元边界时位移连续。如下图所示，考虑一个实际单元e，它的母体单元为ê。以1-2边为例。沿1-2边η＝常数，x、y、u、v都是ξ的线性函数。设e边界上的M点与ê边界上的点对应，则M到结点１的距离Ｓ将是ξ的线性函数。反过来ξ也是Ｓ的线性函数，因而u，v也是Ｓ的线性函数，完全由这个边界上两个结点1、2的位移值u1、u2、v1、v2所决定。从另一相邻单元e’看来，沿边1-2,u、v也是Ｓ的线性函数。完全被结点１、２处的位移值所决定。从单元e和e’看来沿共同边界1-2上的位移处处相同，即在边界上位移是连续的。对其他边界可用类似的方法加以证明。y,v１２３４x,ue’eMs１３２êηξ4ξM2019/10/717第2节四结点四边形等参数单元[收敛性分析]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation四结点四边形等参元的形状有较大灵活性，巧妙地解决了单元形状的灵活性和收敛条件(主要是协调条件)之间的矛盾。但是一般的四边形单元只能精确地再现线性变化的位移场，有限元空间Vh的次数k－1=1。虽然能保证有限元解的收敛性，但精度不够满意。当实际单元是矩形时，ξ，η是x、y的线性函数，假定的位移场将是x、y的二次多项式，但只完全到一次多项式，二次项不完全。这不完全的二次项有时可能改善精度，有时则不能。例如，在分析下图的“纯弯曲”应力