人教版必修一求函数值域的几种常见方法

第1页人教版必修一求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②xxf42)(③1xxy④xxy1奎屯王新敞新疆解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4x∴),2[)(xf即函数xxf42)(的值域是{y|y2}奎屯王新敞新疆③1111111xxxxxy∵011x∴1y即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）奎屯王新敞新疆④当x0，∴xxy1=2)1(2xx2，当x0时，)1(xxy=－2)1(2xx2奎屯王新敞新疆∴值域是]2,([2，+).（此法也称为配方法）函数xxy1的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①142xxy；②]4,3[,142xxxy；③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x第2页解：∵3)2(1422xxxy，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，miny=-2，maxy=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，miny=-2，maxy=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，miny=-3，maxy=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数)0()(2acbxaxxf,⑴若定义域为R时，①当a0时，则当abx2时，其最小值abacy4)4(2min；②当a0时，则当abx2时，其最大值abacy4)4(2max.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x[a,b],则)(0xf是函数的最小值（a0）时或最大值（a0）时，再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大（小）值.②若0x[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论奎屯王新敞新疆例3．求函数66522xxxxy的值域方法一：去分母得(y1)2x+(y+5)x6y6=0①321-1-2-3654321-1-2xOy第3页当y1时∵xR∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0由此得(5y+1)20奎屯王新敞新疆检验51y时2)56(2551x（代入①求根）∵2定义域{x|x2且x3}∴51y再检验y=1代入①求得x=2∴y1综上所述，函数66522xxxxy的值域为{y|y1且y51}方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(xxxxxxxy(x2)由此可得y1奎屯王新敞新疆∵x=2时51y即51y∴函数66522xxxxy的值域为{y|y1且y51}奎屯王新敞新疆说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数xxy142的值域解：设xt1则t0x=12t代入得tttfy4)1(2)(24)1(224222ttt∵t0∴y45．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：)2(12)21(3)1(12xxxxxy，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是2-13xOy第4页3，∴函数的值域是[3，+].如图O12-1xO12-1xO12-1x两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.三、练习：1)0(9122xxxy；解：∵x0，11)1(91222xxxxy，∴y11.另外，此题利用基本不等式解更简捷：11929122xxy234252xxy∵22x-4x+30恒成立(为什么？)，∴函数的定义域为R，∴原函数可化为2y2x-4yx+3y-5=0，由判别式0，即162y-4×2y(3y-5)=-82y+40y0(y0),解得0y5，又∵y0,∴0y5.注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.3求函数的值域①xxy2；②242xxy解：①令xu20,则22ux,原式可化为49)21(222uuuy,∵u0，∴y49，∴函数的值域是（-，49].②解：令t=4x2x0得0x4第5页在此区间内(4x2x)max=4，(4x2x)min=0∴函数242xxy的值域是{y|0y2}小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.作业：求函数y=1122xxxx值域解：∵04343)21(122xxx，∴函数的定义域R，原式可化为1)1(22xxxxy,整理得01)1()1(2yxyxy，若y=1,即2x=0,则x=0；若y1,∵xR，即有0，∴0)14(-)1(22y-y,解得331y且y1.综上：函数是值域是{y|331y}.