二次函数应用(拱桥问题)

个性化学案二次函数综合应用题（拱桥问题）适用学科数学适用年级初中三年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点二次函数解析式的确定、二次函数的性质和应用教学目标1.掌握二次函数解析式求法。2学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。教学重点1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线段之间关系；2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐标教学难点如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。个性化学案教学过程一、复习预习平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。个性化学案二、知识讲解考点/易错点1：二次函数解析式的形式1、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）2、顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0）顶点坐标（h，k）直线x=h为对称轴，k为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值3、双根式：y=a(x-1x)(x-2x)（a≠0）(1x,2x是抛物线与x轴交点的横坐标)并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x轴有交点时才行4、顶点在原点：5、过原点：)0(2abxaxy6、顶点在y轴：)0(2acaxy)0(2aaxy个性化学案考点/易错点2：建立平面直角坐标系1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。个性化学案三、例题精析【例题1】【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，且过点（10，－4）∴故（2）设水位上升hm时，水面与抛物线交于点（）则∴（3）当d＝18时，∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。【解析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．4101252aa×，yx1252dh24，hd412542×dh10418104076hh，.0762276..个性化学案【例题2】【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶?【答案】解：以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E在y轴上,且B、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）设抛物线为y=ax²+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.【解析】以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式个性化学案【例题3】【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽，水位上升3m，达到警戒线CD，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y＝ax2＋h又知B(2，0)，D(2，3)∴解得：∴y＝－41x2＋6∴E(0，6)即OE＝6EF＝OE－OF＝3t＝＝25.03＝12(小时)答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．【解析】建立直角坐标系，求出解析式四、课堂运用m64m34633h)32(a0h)62(a226h41a25.0EFOxCXyDBAEF个性化学案【基础】1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？【巩固】个性化学案1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗?(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?【拔高】1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测个性化学案得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?．五、课程小结个性化学案（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题；（2）根据题意建立直角坐标系，建立数学模型，解决实际问题；（3）找到两个变量之间的关系；掌握数形结合思想；（4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．感受数学在生活实际中使用六、课后作业个性化学案【基础】1、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．求此抛物线的解析式。【巩固】个性化学案1、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施?【拔高】个性化学案1、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．(1)求此抛物线的解析式；(2)如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥?(3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．；