一元二次方程全章讲义

一元二次方程知识要点1.一元二次方程1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2）一元二次方程的一般形式：0cbxax2（a≠0）2ax为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。2.一元二次方程的根。1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。例1.如果2是方程05bxx2的一个根，则常数b是多少？3.解一元二次方程1）直接开平方法（1）若一元二次方程易写为pnx2）（形式，当p＞0时，则npx1，npx2例2.解下列方程36x52）（096x2）（（2）若一元二次方程可写为pnx2）（形式，当p=0时，nxx21（3）若一元二次方程可写为pnx2）（形式，当p＜0时，因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，等式都不成立，即原方程无实数根。2）配方法（1）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。完全平方公式：222bab2aba）（222bab2aba）（配成完全平方公式：222babab2a）（222babab2a）（例3.填空22___)x(____x10x22)6_x(___x12x22___)x(___x5x22___x2___x20x2）（一元二次方程例4.解方程04x6x2022x202x2移项4x6x2两边同时加226）（222343x6x左边写成完全平方形式53x2）（降次53x53x，53x解一次方程53x1，53x2例5.用配方法解下列方程01x8x2x31x223）公式法1）任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：0cbxax2（a≠0）则当0ac4b2时，有求根公式a2ac4bbx2。2）推导过程配方法解一元二次方程的一般步骤：（一移、二化、三配、四开）1、移项：将常数项移到右边，含有未知数的项移到左边2、二次项系数化为1：左右两边同时除以二次项系数3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平一元二次方程用配方法解：0cbxax2解：移项、二次项系数化为1得acxabx2配方得222a2baca2bxabx）（）（即222a4ac4ba2bx）（则a2ac4ba2bx2当0ac4b2＞时，a2ac4bbx21、a2ac4bbx22；当0ac4b2时，a2bxx21；当0ac4b2＜时，ac4b2无意义，方程无实数根。3）用公式法解一元二次方程的一般步骤:1.把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；2.求出Δ=ac4b2的值；3.当Δ＞0时，有两个不相等的实数根，即，；4.当Δ=0时，有两个相等的实数根，即；5.当Δ＜0时，无实数根。例6.如果关于x的一元二次方程01x1k2kx2有两个不相等的实数根，那么k的取值范围为_______________.例7.用公式法解下列方程。为根的判别式a2ac4bbx22a2ac4bbx21a2bxx2111-x29x4x2x31x22一元二次方程4）因式分解法解一元二次方程（1）先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而求得方程的两个根。（2）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项：将方程的右边化为0；②化积：将方程的左边因式分解，化为两个一次式的乘积；③转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。（3）因式分解法解一元二次方程的常用方法：①提取公因式法：ab+ac=a（b+c）；②完全平方式法：a2±2ab+b2=（a±b）2；③平方差公式法：a2−b2=(a+b)（a−b）。例8.用因式分解法解下列方程。018x12x22222x1x2）（）（4.一元二次方程根与系数的关系（方程0cbxax2（a≠0））根据公式法：a2ac4bbx21，a2ac4bbx221）两根之和：abxx212）两根之积：acxx21例9.已知三角形一条边的长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程06x5x2的两个根，则三角形的周长为________.01x1-x2）（0x11-x2）（一元二次方程中考真题1、一元二次方程x22xx）（的根是（）A.-1B.2C.1和2D.-1和22、若x=-2是关于x的一元二次方程0aax25x22的一个根，则a的值为（）A.1或4B.-1或-4C.-1或4D.1或-43、等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程0kx12x2的两个根，则k的值为（）A.27B.36C.27或36D.184、设21xx、是方程03x3x2的两个实数根，则2112xxxx的值为（）A.5B.-5C.1D.-15、用配方法解方程01x2x2时，配方后所得方程为（）A.01x2）（B.01x2）（C.21x2）（D.21x2）（6、已知关于x的方程01xk1kx2）（，下列说法正确的是（）A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程只有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k不等于0时，方程总有两个不相等的实数解7、若04a1b，且一元二次方程0baxkx2有实数根，则k的取值范围是_______。8、已知关于x的方程02x2mmx2）（（m≠0）。求证：方程总有两个实数根。