导数的几何意义

3.1.3导数的几何意义陵水中学数学组李顺美1、平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为)(xf],[21xx1212)()(xxxfxfxy②割线的斜率1212)()(xxxfxfxykOABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y复习引入2.导数的概念00000()()()limlimxxfxxfxffxxx)(xfy0xx3.求函数在处的导数的步骤（1）求平均变化率（2）取极限'000'0,,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道导数表示函数在处的瞬时变化率反映了函数在附近的变化情况那么导数的几何意义是什么呢提出问题P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx21.3图1234?,,4,3,2,1,,21.300什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP自学探究yxo)(xfyP相交再来一次PPnoxyy=f(x)割线切线T当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.曲线在点P处切线的定义xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割线的斜率与切线的斜率有什么呢？xxfxxfkPQ)()(xy00＝即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim＝所以：切线0xf小组交流函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy导数的几何意义xxfxxfxyxfxx)()()(k00000limlim＝切线.,,,.105.69.4,31.312102附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例tttthttth0l1l2lthO0t1t2t31.3图变化情况.刻画曲线在动点附近的,利用曲线在动点的切线.,,,210变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttth展示成果.,,.,10000几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当ttxltthtt.,,.0`,2111111附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt.,,.0`,3222222单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt.,,31.32121附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图ttthll0l1l2lthO0t1t2t31.3图hto3t4t附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt变式结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；例2:2210[(1)1](11)|limxxxyx解：22(1)yx切线方程：20xy即：（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.202lim2xxxx（1）若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0，则.)(0xf-20BxAxxyBA的大小关系是与则的图象如图所示、已知函数)()()(1BAxfxfxfy)()(.BAxfxfA)()(.BAxfxfB)()(.BAxfxfC不能确定.D反馈达标训练B处的切线方程）点的斜率；（）割线（，求：的横坐标是点，的横坐标是上的两点，且点是曲线和点、已知点PPQQPxyQP2121322042),1(2)2(2)2(2)31(3)1()2(312)2(111,22-1limlim0022yxxyPxxyKxxxxyKQPxxPQ即：处的切线方程为：所以，在点）（）（），（解：由题意可得3、求切线方程的步骤：)()1(0xfk求切线斜率))(()2(000xxxfyy切线方程为：总结1、导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf2、切线的斜率：xxfxxfxyxfxx)()()(k00000limlim＝切线）处的切线方程是在点（、曲线1,13xy处的切线斜率为在点、曲线)8,2(2)(22Axxf课后作业1、习题3.1A组第5题