中职数学-三角函数教案

三角函数一、任意角1.角的概念的推广⑴“旋转”形成角ABαO⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。2.“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3.终边相同的角所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。ZkkS,360|二、弧度制1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角奎屯王新敞新疆它的单位是rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0奎屯王新敞新疆（2）角的弧度数的绝对值公式：lr（l为弧长，r为半径）2.角度制与弧度制的换算：∵360＝2rad∴180＝rad∴1＝radrad01745.0180'185730.571801rad3.两个公式1）弧长公式：rl由公式：rlrl比公式180rnl简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积2）扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半径4.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π5.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系奎屯王新敞新疆正角零角负角正实数零负实数任意角的集合实数集R三、任意角三角函数的定义1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）则P与原点的距离02222yxyxrry)(x,（1）把比值ry叫做的正弦记作：rysin（2）把比值rx叫做的余弦记作：rxcos（3）把比值xy叫做的正切记作：xytan上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即Z)(2kk时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.三角函数。三角函数值的定义域：rysinRrxcosRxytanZkk,2|2.三角函数的符号sin为正全正tan为正cos为正3.终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°＝sin30°cos390°＝cos30°sin（－330°）＝sin30°cos（－330°）＝cos30°诱导公式一（其中Zk）:用弧度制可写成sin)360sin(ksin)2sin(kcos)360cos(kcos)2cos(ktan)360tan(ktan)2tan(k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。4.三角函数的集合表示：sin1yyyMPrcos1xxxOMrtanyMPATATxOMOAPxyA11－1－1TOM例1.在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'例2.写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）例3.用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为{|k360k360+90，（kZ）}；第二象限的角表示为第三象限的角表示为第四象限的角表示为巩固练习1.下列命题中正确的是（）A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是（）A.－600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋（2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是4.角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第________象限角．5.一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.6.确定下列各式的符号（1）sin100°·cos240°（2）sin5+tan5四、三角函数（一）三角函数的几何表示1、有向线段：规定了方向（即规定了起点与终点）的线段称为有向线段。有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线。有向线段的数量：有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。记为AB如图：AB＝3，BC＝2，CB＝－22、三角函数线的定义：sin1yyyMPrcos1xxxOMrtanyMPATATxOMOA有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线（二）同角三角函数的关系1.公式：1cossin22tancossin2.采用定义证明：1cossincos,sin122222rxryryx且tancossin)(22xyxrryrxryZkk时，当（三）诱导公式1、诱导公式一：sin)360sin(kcos)360cos(ktan)360tan(k（其中Zk）用弧度制可写成sin)2sin(kcos)2cos(ktan)2tan(k（其中Zk）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。2、诱导公式二：用弧度制可表示如下：-sin180sin(）-sinsin(）-cos180cos(）-coscos(）tan180tan(）tantan(）3、诱导公式三：-sinsin(）coscos(）tantan(）4、诱导公式四：用弧度制可表示如下：sin180sin(）sinsin(）-cos180cos(）-coscos(）tan180tan(）tantan(）5、诱导公式五：-sin360sin(）-sin2sin(）cos360cos(）cos2cos(）tan360tan(）tan2tan(）6、诱导公式六：sin（90）=coscos（90）=sin.tan（90）=cotcot（90）=tan.sec（90）=csccsc（90）=sec7、诱导公式七：sin（90+）=coscos（90+）=sin.tan（90+）=cotcot（90+）=tan.sec（90+）=csccsc（90+）=sec例1.确定角α为何值时，下面的式子有意义。（1）cosαtanα（2）tan1例2.已知178cos，求sin、tan的值。例5.求下列各式的值：（1）sin（－34）；（2）cos（－60º）－sin（－210º）巩固练习1.已知sinα＋cosα＝231，且0＜α＜π，则tanα的值为（）A.33B.3C.33D.32.54cos53cos52cos5cos=。3.求下列三角函数值：（1）45sin；（2）619cos；（3）)240sin(；（4）)1665cos(五、三角函数的图象和性质（一）三角函数的周期性周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：①周期函数x定义域M，则必有x+TM②T往往是多值的（如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π注：在本书中，如果不加以说明，周期都是指函数的最小正周期。③2sin()sin33232sin()sin6323xxxxxx判断：（1）时则一定不是函数y=sinx的周期。（2）时则一定是函数y=sinx的周期。（二）三角函数的性质1.几何法作图第一步：列表。首先在单位圆中画出正弦线和余弦线。在直角坐标系的x轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角6,0，3，2,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）。第二步：描点。我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点。第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象。-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=sinx将y=sinx的图象向左平移2即得y=cosx的图象-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=cosx2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）（1）正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)（2）余弦函数y=cosxx[0,2]的图象中，五个关键点是：(0,1)(2,0)(,-1)(23,0)(2,1)3.正弦函数的性质（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R（2）值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。其中正弦函数y=sinx,x∈R①当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1。②当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1。而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1。②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1。（3）周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。函数Rx),xsin(Ay及函数Rx),xcos(Ay（其中A，为常数，且0,0A）的周期2T（4）奇偶性y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称（5）单调性正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1yxo1-1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭