两角和与差的正弦ppt

()Csinsincoscos)cos(复习回顾)(C2、两角差的余弦公式1、两角和的余弦公式cos()coscossinsin有了两角和与两角差的余弦公式，自然想得到两角和的正弦、正切公式，以及两角差的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究.2今天先来研究两角和与差的正弦公式3§19两角和、两角差的正弦公式4思考1、什么公式可以实现由正弦到余弦的转化？诱导公式思考()C)(C新知识已学知识思考2：结合和，你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？练习、化简：2sin)1((4)cos2(5)cos2(6)cos2复习回顾(2)sin2(3)cos2sin()sin())sin(利用)2cos(sinxx将正弦转化为余弦)](2cos[])2cos[(sin)2sin(cos)2cos(sincoscossin探索新知sin()问题1如何利用的正弦、余弦表示、sin()sincoscossin探索新知思考如何利用正弦、余弦表示、)sin()](sin[sincos()cossin()abab=-+-sin()sin()sincoscossinsincoscossinabab=-sin()sincoscossin1、两角和的正弦公式，简记为)(S2、两角差的正弦公式，简记为)(Ssin()sincoscossin两角和(差)的余弦公式:cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβcos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ两角和(差)的正弦公式:sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβsin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ比较两组公式的特点1.的取值范围都是任意角.、2.余弦公式是同名三角函数相乘;正弦公式是异名三角函数相乘.3.余弦公式等号两边加减相反;正弦公式等号两边加减一致.探索新知例1利用和(差)角公式,求下列各式的值：15sin)1(75cos)2((3)cos105(4)sin(315)新知应用例利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)sin72cos42cos72sin42(2)cos20cos70sin20sin70解:(1)由公式,得()S1sin(7242)sin302原式新知应用)(C解:(2)由公式,得090cos)7020cos(原式例3求证：.sin(2)sin2cos()sinsin求下列各式的值：（1）cos75°；（2)sin20°cos50°-sin70°cos40°；例52：不查表，求下列各式的值．(1)cos80°cos20°＋sin80°sin20°；(2)sin(36°＋α)sin(54°－α)－cos(36°＋α)cos(54°－α)；(3)12cos15°＋32sin15°.4sin,,,525cos,,13cos().已知是第三象限角求的值讲解范例例2.思考：,2本题中没有呢？分析：本题主要考查三角函数的诱导公式和两角和与差的余弦公式，同时也考查了化归的思想方法．(学生用书P77)类型一化简与求值例1：计算：(1)cos105°；(2)cos165°；(3)sin7π12.解：(1)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)cos165°＝－cos15°＝－cos(60°－45°)＝－(cos60°cos45°＋sin60°sin45°)＝－12×22＋32×22＝－2＋64.规律技巧：注意公式的结构特征和符号规律，对公式Cα＋β，Cα－β可记为“同名相乘，符号相反”；对于公式Sα＋β，Sα－β可记为“异名相乘，符号相同”．(3)sin7π12＝sinπ3＋π4＝sinπ3cosπ4＋cosπ3sinπ4＝32×22＋12×22＝6＋24.变式训练1：不查表，求下列各式的值：(1)sin75°；(2)sin(－15°)；(3)cos5π12.解：(1)sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)sin(－15°)＝sin(45°－60°)＝sin45°cos60°－cos45°sin60°＝22·12－22·32＝2－64.(3)cos512π＝cosπ6＋π4＝cosπ6cosπ4－sinπ6sinπ4＝32×22－12×22＝6－24.例2：计算：(1)sin13°cos17°＋cos13°sin17°；(2)sin(36°＋α)cos(54°－α)－cos(144°－α)sin(126°＋α)；(3)sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ.分析：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式，重点考查逆用公式的能力和运算技巧．解：(1)原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.(2)解法1：原式＝sin(36°＋α)cos(54°－α)＋cos(36°＋α)sin(54°－α)＝sin[(36°＋α)＋(54°－α)]＝sin90°＝1.解法2：原式＝sin(36°＋α)sin(36°＋α)＋cos(36°＋α)·cos(36°＋α)＝sin2(36°＋α)＋cos2(36°＋α)＝1.(3)解法1：原式＝sin[(α－β)＋β]＝sinα.解法2：原式＝(sinαcosβ－cosαsinβ)cosβ＋(cosαcosβ＋sinαsinβ)sinβ＝sinαcos2β－cosαsinβcosβ＋cosαcosβsinβ＋sinαsin2β＝sinα(cos2β＋sin2β)＝sinα.误区警示：本例的解答充分体现了两角和与差公式使用的灵活性以及三角恒等变形方法的多样性．(1)的解法、(2)的解法1、(3)的解法1从整体上考虑，灵活地逆用两角和与差的正弦公式，解法非常简单、快捷；而(3)的解法2从局部的特征入手正用公式，方法就显得非常复杂、艰难．在进行三角变形时，务必要充分观察，多从整体上考虑，切忌看到局部某一处可用哪个公式就匆忙套用公式．变式训练2：不查表，求下列各式的值．(1)cos80°cos20°＋sin80°sin20°；(2)sin(36°＋α)sin(54°－α)－cos(36°＋α)cos(54°－α)；(3)12cos15°＋32sin15°.解：(1)原式＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.(2)原式＝－cos[(36°＋α)＋(54°－α)]＝－cos90°＝0.(3)解法1：原式＝sin30°cos15°＋cos30°sin15°＝sin(30°＋15°)＝sin45°＝22.解法2：原式＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22.类型二已知三角函数值求其它三角函数值例3：已知sinα＝35，cosβ＝1213，求cos(α＋β)的值．分析：由sinα＝35，cosβ＝1213，求出cosα和sinβ，但不知α，β的范围，故需分类求解．解：∵sinα＝350，cosβ＝12130，∴α可能在第一、二象限，β在第一、四象限．若α，β均在第一象限，则cosα＝45，sinβ＝513.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×1213－35×513＝3365.若α在第一象限，β在第四象限，则cosα＝45，sinβ＝－513.∴cos(α＋β)＝45×1213－35×－513＝6365.若α在第二象限，β在第一象限，则cosα＝－45，sinβ＝513.∴cos(α＋β)＝－45×1213－35×513＝－6365.若α在第二象限，β在第四象限，则cosα＝－45，sinβ＝－513.∴cos(α＋β)＝－45·1213－35·－513＝－3365.规律技巧：已知两个角的三角函数值求这两个角的和、差的三角函数值的一般步骤为：先由同角三角函数公式求出两角和与差公式中所需要的其他三角函数值，再正用两角和与差公式求出结果．若已知角未给定范围，则需分情况讨论．变式训练3：(1)α为第三象限角，sinα＝－35，求sin37π6－α的值．(2)已知cosα＝－35，πα3π2，求cosπ6－α的值．解：(1)∵sinα＝－35，且α为第三象限角，∴cosα＝－45.∴sin376π－α＝sinπ6－α＝12×－45－32×－35＝33－410.(2)∵cosα＝－35，πα3π2，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－－352＝－45.∴cos(π6－α)＝cosπ6cosα＋sinπ6sinα＝32×(－35)＋12×－45＝－33＋410.(学生用书P79)1.(2008·全国Ⅲ)函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为()A．1B.2C.3D．2解析：f(x)＝222sinx－22cosx＝2sinx－π4≤2.答案：B2．(2008·山东高考)已知cosα－π6＋sinα＝453，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C．－45D.45解析：由已知得，32cosα＋12sinα＋sinα＝32cosα＋32sinα＝312cosα＋32sinα＝3sinα＋π6＝453，∴sin(α＋π6)＝45，而sin(α＋7π6)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：C3．(2011·山东一模)定义运算abcd·ef＝ae＋bfce＋df，如1203·45＝1415，已知α＋β＝π，α－β＝π2，则sinαcosαcosαsinα·cosβsinβ＝()A.00B.01C.10D.11解析：由题意知sinαcosαcosαsinα·cosβsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝sinα＋βcosα－β＝sinπcosπ2＝00.答案：A技能提升作业(二十五)例3：已知α、β为锐角，cosα＝45，sin(α－β)＝－1010，求cosβ.•规律技巧：角的变换是使用两角和与差的余弦公式求值中常见的方法，要掌握一些角的变换技巧，如α＝(α＋β)－β，α＋2β＝(α＋β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．练习3：cos87°·cos432°－sin93°·cos198°的化简结果是()A．－cos21°B．cos75°C.6－24D.6＋24例4：已知cosα－2cosβ＝－32，sinα－2sinβ＝13，求cos(α－β)的值．•规律技巧：两式平方相加的方法，是解决具有本题特征的题目的有效途径．练习4：已知sinα＋sinβ＝310，cosα＋cosβ＝9110，求cos(α－β)．课堂小结两角差的余弦公式：cos()coscossinsin(2)在化简、求值问题中，要能灵活处理已、未知关系．(1)牢记公式